[论文解读] Lp estimates for the homogenization of stokes problem in a perforated domain

Amina Mecherbet, Matthieu Hillairet|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文为具有 $N$ 个运动粒子的穿孔域中 Stokes 问题的均质化建立了定量的 $L^p$-范数估计，表明速度场 $u^N$ 收敛于 Stokes-Brinkman 方程的解 $\bar{u}$。在均匀间距、有界半径和有界动能条件下，收敛速率取决于粒子分布的经验测度与其极限在对偶 Hölder 或有界-Lipschitz 范数下的距离。

ABSTRACT

In this paper, we consider the Stokes equations in a perforated domain. When the number of holes increases while their radius tends to 0, it is proven in [L. Desvillettes, F. Golse and V. Ricci. The mean field limit for solid particles in a Navier-Stokes flow. J. Stat. Phys. 131: 941-967, 2008], under suitable dilution assumptions, that the solution is well-approximated asymptotically by solving a Stokes-Brinkman equation. We provide here quantitative estimates in L p-norms of this convergence.

研究动机与目标

• 为穿孔域中 $N$ 个孔洞的 Stokes 速度场 $u^N$ 收敛于 Stokes-Brinkman 方程解 $\bar{u}$ 的 $L^p$-范数提供定量估计。
• 分析收敛速率与粒子位置、速度和半径的经验测度与其极限分布之间距离的关系。
• 在对极限粒子分布的正则性假设最小的前提下，将先前的弱收敛结果推广为 $L^p$-空间中的强收敛估计。
• 量化粒子间距、半径和动能对均质化误差的影响。
• 以经验密度和通量与极限密度和通量之间差值的对偶范数形式建立误差界，包括 Zolotarev 型和 Hölder 型距离。

提出的方法

• 使用经验测度 $S_N$ 描述穿孔域中粒子位置、速度和半径的渐近分布。
• 将宏观通量 $j^N$ 和密度 $\rho^N$ 定义为 $S_N$ 的一阶矩的 $6\pi$ 倍，与 Stokes 定律一致。
• 应用紧嵌入和延拓技术，控制扩展速度场差值 $E_\Omega[u^N] - \bar{u}$ 的 $L^p$-范数，其中 $E_\Omega$ 表示零延拓。
• 采用与光滑核 $\chi_\delta$ 的卷积对延拓后的速度场进行正则化，以控制 Sobolev 和 Hölder 范数。
• 通过涉及 $\mathcal{C}^{0,\alpha}(\bar{\Omega})$ 和 $\mathcal{C}^{0,1}(\bar{\Omega})$ 空间对偶的对偶估计推导误差界。
• 使用有界-Lipschitz 范数和 Zolotarev 型距离度量经验分布与极限分布之间的偏差。

实验结果

研究问题

• RQ1 在穿孔域中 Stokes 问题的解 $u^N$ 以何种速率在 $L^p$-范数下收敛于 Stokes-Brinkman 方程的解 $\bar{u}$？
• RQ2 收敛速率对经验粒子分布与其极限分布之间在 Hölder 空间对偶范数下距离的依赖关系如何？
• RQ3 孔洞的均匀间距、有界半径和有界动能如何影响 $L^p$-误差估计？
• RQ4 能否使用经验通量和密度场与极限通量和密度场之间的 Zolotarev 型距离来量化收敛速率？
• RQ5 在对极限粒子分布的正则性假设最小的前提下，误差在 $N$（孔洞数量）上的最优量纲关系为何？

主要发现

• 在间距、半径和动能的假设下，对于 $p \in (1, 3/2)$，有 $\|E_\Omega[u^N] - \bar{u}\|_{L^p(\Omega)} \leq K\left(\|\rho^N - \rho\|_{(\mathcal{C}^{0,1}(\bar{\Omega}))^*} + \frac{1}{N^{1/3}}\right)^{1/3} E_0$。
• 对于 $\alpha \in (0,1)$，误差满足 $\|E_\Omega[u^N] - \bar{u}\|_{L^p(\Omega)} \leq K\left(\|j^N - j\|_{(\mathcal{C}^{0,\alpha}(\bar{\Omega}))^*} + \|\rho^N - \rho\|_{(\mathcal{C}^{0,\alpha}(\bar{\Omega}))^*} + \frac{E_0}{N^{\min(1/3, \alpha)}} + \frac{\|j\|_{L^q(\Omega)}}{N^{\alpha/3}}\right)$，其中 $p \in (1, 3/(1+\alpha))$ 且 $q \in (3/(2-\alpha), \infty)$。
• 随着极限分布的 Hölder 正则性 $\alpha$ 提高，收敛速率改善，在 $\alpha < 1/3$ 时达到 $O(N^{-\alpha/3})$。
• 误差估计依赖于经验与极限密度和通量之间差值的对偶范数，且显式依赖于动能 $E_0$。
• 当 $N \geq (4R_0/C_0)^{3/2}$ 时，该界对所有 $N$ 一致成立，确保在渐近情形下有效。
• 该方法适用于有界-Lipschitz 范数和 Zolotarev 型距离，允许灵活度量粒子分布的偏差。