[论文解读] LP-rounding algorithms for facility-location problems

Jarosław Byrka, MohammadReza Ghodsi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 13被引用 22

一句话总结

本文提出了一种新的基于原始问题的线性规划松弛分析方法，用于无容量限制的设施选址问题，无需依赖对偶解即可改进近似保证。该方法在基本问题上实现了1.58-近似，并针对随机性和鲁棒容错变体提出了增强算法，包括针对k-故障容错的(k+5+4/k)-近似，以及在两阶段随机设置下的2.2975-近似。

ABSTRACT

We study LP-rounding approximation algorithms for metric uncapacitated facility-location problems. We first give a new analysis for the algorithm of Chudak and Shmoys, which differs from the analysis of Byrka and Aardal in that now we do not need any bound based on the solution to the dual LP program. Besides obtaining the optimal bifactor approximation as do Byrka and Aardal, we can now also show that the algorithm with scaling parameter equaling 1.58 is, in fact, an 1.58-approximation algorithm. More importantly, we suggest an approach based on additional randomization and analyses such as ours, which could achieve or approach the conjectured optimal 1.46...--approximation for this basic problem. Next, using essentially the same techniques, we obtain improved approximation algorithms in the 2-stage stochastic variant of the problem, where we must open a subset of facilities having only stochastic information about the future demand from the clients. For this problem we obtain a 2.2975-approximation algorithm in the standard setting, and a 2.4957-approximation in the more restricted, per-scenario setting. We then study robust fault-tolerant facility location, introduced by Chechik and Peleg: solutions here are designed to provide low connection cost in case of failure of up to $k$ facilities. Chechik and Peleg gave a 6.5-approximation algorithm for $k=1$ and a ($7.5k + 1.5$)-approximation algorithm for general $k$. We improve this to an LP-rounding $(k+5+4/k)$-approximation algorithm. We also observe that in case of oblivious failures the expected approximation ratio can be reduced to $k + 1.5$, and that the integrality gap of the natural LP-relaxation of the problem is at least $k + 1$.

研究动机与目标

• 通过消除对对偶解的依赖，简化并加强无容量限制设施选址（UFL）问题LP舍入算法的分析。
• 在UFL问题上实现更优的近似比，特别是接近猜想中的最优1.46-近似。
• 将LP舍入框架扩展至两阶段随机设施选址和对抗性故障下的鲁棒容错设施选址。
• 通过基于原始问题的舍入技术，对随机和容错设置下的期望成本提供更紧的界。

提出的方法

• 对Chudak–Shmoys LP舍入算法进行新的基于原始问题的分析，不使用对偶变量，仅通过有理化期望客户连接成本与分数成本的关系来界定。
• 引入一个带有缩放参数γ的随机舍入方案，证明当γ = 1.575时可实现1.575-近似，优于此前对该参数值的已知界。
• 将相同的原始分析方法应用于两阶段随机设施选址，通过算法组合实现每场景2.4061-近似和期望下2.2975-近似。
• 使用依赖性舍入和设施缩放因子(k+5+4/k)，实现k-故障容错设施选址的(k+5+4/k)-近似。
• 提出一种无感知故障模型，通过随机舍入证明期望成本不超过分数解的(k+1.5)倍。
• 证明整数规划间隙至少为k+1，表明在k上无法实现亚线性逼近比。

实验结果

研究问题

• RQ1 Chudak–Shmoys LP舍入算法能否在完全基于原始问题的方式下重新分析，而无需对偶拟合？
• RQ2 能否通过基于原始问题的技术将UFL的近似比改进至接近猜想中的1.46-近似？
• RQ3 使用LP舍入方法，两阶段随机设施选址的最佳可实现近似比是多少？
• RQ4 能否通过LP舍入方法将鲁棒容错设施选址的近似比改进至优于(7.5k+1.5)-近似？
• RQ5 在容错设置下，近似的极限是什么，特别是从整数规划间隙的角度？

主要发现

• 本文通过Chudak–Shmoys算法的基于原始问题的分析，实现了无容量限制设施选址问题的1.58-近似，且无需使用对偶解。
• 当γ = 1.575时，该算法可实现1.575-近似，优于此前针对该参数值的已知界。
• 在两阶段随机设置中，通过算法组合，该算法在标准设置下实现2.2975-近似，在每场景设置下实现2.4957-近似。
• 对于存在k个设施故障的鲁棒容错设施选址问题，本文提出了一种(k+5+4/k)-近似算法，优于先前的(7.5k+1.5)-近似。
• 在无感知故障模型中，期望成本被限制为分数解的(k+1.5)倍，且整数规划间隙至少为k+1，表明亚线性近似比不可能实现。
• 基于原始问题的分析框架具有通用性，提示该方法可通向实现或逼近UFL问题猜想中的最优1.46-近似。