[论文解读] LQR-based coupling gain for synchronization of linear systems

S. Emre Tuna|ArXiv.org|Jan 22, 2008

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 28被引用 264

一句话总结

该论文提出了一种基于LQR的线性反馈律，可在耦合足够强的前提下，确保任意数量通过固定有向网络连接的相同连续时间线性系统实现全局同步。耦合强度通过耦合矩阵的非零特征值中距离虚轴最近的距离来量化，该方法在系统对(A, B)可稳定化的前提下，保证了渐近同步。

ABSTRACT

Synchronization control of coupled continuous-time linear systems is studied. For identical systems that are stabilizable, a linear feedback law obtained via algebraic Riccati equation is shown to synchronize any fixed directed network of any number of coupled systems provided that the coupling is strong enough. The strength of coupling is determined by the smallest distance of a nonzero eigenvalue of the coupling matrix to the imaginary axis. A dual problem where detectable systems that are coupled via their outputs is also considered and solved.

研究动机与目标

• 设计一种反馈律，以确保任意固定有向网络拓扑结构下相同线性系统的同步。
• 确定实现同步所需的最小耦合强度，通过耦合矩阵的谱特性进行量化。
• 将结果扩展至涉及输出耦合与可检测系统的对偶问题。
• 提供一种基于最优控制理论（LQR）的构造性解决方案，而非仅依赖分析的方法。
• 证明在强耦合条件下，仅需个体系统可稳定（而非稳定）即可实现同步。

提出的方法

• 使用具有非负非对角线元素和零行和的有向耦合矩阵Γ，建立p个相同线性系统的同步问题模型。
• 通过使用Γ的特征向量矩阵进行坐标变换，将系统转化为块对角形式，从而分离出一致性模式。
• 应用线性二次调节器（LQR）理论，计算反馈增益Kδ，以稳定每个子系统的误差动态。
• 利用代数Riccati方程求解最优反馈增益Kδ，确保对于Γ的所有非零特征值λi，闭环系统矩阵A + λiBKδ均为Hurwitz矩阵。
• 通过证明误差动态在t → ∞时收敛至零，实现同步，其依据为耦合矩阵的谱间隙。
• 将结果扩展至对偶问题：通过输出耦合的可检测系统，使用相同的基于LQR的反馈律，但增益缩放方式经修改。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种单一、统一的反馈律，以确保在耦合足够强的所有有向网络拓扑结构下实现同步？
• RQ2 在稳定性之外，此类反馈律存在的最弱系统理论假设是什么？
• RQ3 如何通过耦合矩阵的谱特性来量化耦合强度，以保证同步？
• RQ4 相同的基于LQR的方法能否适应仅共享输出的输出反馈耦合场景？
• RQ5 当个体系统不稳定时，只要满足可稳定条件，基于LQR的反馈律是否仍有效？

主要发现

• 从代数Riccati方程导出基于LQR的反馈增益Kδ，确保对于耦合矩阵Γ的所有非零特征值λi，A + λiBKδ均为Hurwitz矩阵。
• 只要耦合足够强（即−Re(λ2(Γ)) ≥ δ > 0），即可实现任意固定有向网络中相同线性系统的全局同步。
• 该反馈律仅依赖于系统矩阵(A, B)和耦合强度δ，因此对网络拓扑变化具有鲁棒性。
• 对偶问题表明，通过输出耦合的可检测系统也可使用修改后的LQR增益实现同步，其中输入缩放与δ−1成正比。
• 该结果无需要求个体系统本身稳定，仅需(A, B)可稳定即可。
• 同步的收敛速率由谱间隙δ决定，δ越大，收敛越快。