[论文解读] Lyapunov dimension formula of attractors in the Tigan and Yang systems

Г. А. Леонов, Н. В. Кузнецов+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Chaos control and synchronization参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文通过一种基于李雅普诺夫函数的新方法，推导出蒂甘与杨系统吸引子的李雅普诺夫维数的精确公式。通过构造特定的矩阵变换与标量函数，作者将李雅普诺夫维数可精确计算的参数域范围扩展，证明在经典混沌参数下，维数等于 $ 3 - \frac{2(\sigma + b)}{\sigma + \sqrt{\sigma^2 + 4\sigma r}} $，确认了自激吸引子的精确维数。

ABSTRACT

In latter days the technique of attractors dimension estimate of Lorenz type systems is actively developed. In this work the Lyapunov dimension of attractors of the Tigan and Yang systems is estimated.

研究动机与目标

• 扩展可严格估计杨与蒂甘系统吸引子李雅普诺夫维数的参数域范围。
• 在特定条件下，推导出这些系统中不变紧致集的李雅普诺夫维数的精确公式。
• 验证经典混沌参数下精确维数公式的正确性，包括杨与蒂甘系统中的自激吸引子。
• 建立有界解趋于平衡点（从而李雅普诺夫维数为零）的条件，并识别混沌吸引子存在的条件。

提出的方法

• 作者应用李雅普诺夫维数理论中的定理2，利用矩阵 $ S $ 与标量函数 $ \vartheta $ 构造李雅普诺夫函数，以界定李雅普诺夫指数之和的上界。
• 使用特定矩阵 $ S = \begin{pmatrix} -\rho^{-1} & 0 & 0 \\ -\frac{b}{\sigma} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ 对系统进行变换，并分析雅可比矩阵对称部分的特征值。
• 定义李雅普诺夫函数 $ \vartheta $ 为 $ \vartheta = \frac{(1-s)V}{\sqrt{\sigma^2 + 4\sigma r}} $，其中 $ V $ 是具有变系数 $ \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4 $ 的二次型。
• 该方法涉及求解二次方程 (10) 以获得临界根 $ \gamma^{(II)} > \gamma^{(I)} $，确保混沌行为下存在正根。
• 通过比较不等式 (9) 的上界与原点处的李雅普诺夫维数，推导出精确的李雅普诺夫维数，证明在条件 (11) 下两者相等。
• 通过缩放将蒂甘系统转化为杨系统，使结果可直接应用于参数为 $ \sigma = a, r = c - a, b = b $ 的 T 系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种参数条件下，可精确计算杨系统吸引子的李雅普诺夫维数？
• RQ2 如何将李雅普诺夫维数估计成立的参数域范围扩展至超越先前结果的区域？
• RQ3 在何种条件下，杨系统有界解收敛至平衡点，从而导致李雅普诺夫维数为零？
• RQ4 对于杨与蒂甘系统的经典混沌参数，李雅普诺夫维数公式是否产生一致且精确的值？
• RQ5 该李雅普诺夫维数公式是否可应用于蒂甘与杨系统中的自激吸引子？

主要发现

• 对于经典杨系统参数 $ \sigma = 10, b = \frac{8}{3}, r = 16 $，李雅普诺夫维数精确为 $ 3 - \frac{2(\sigma + b)}{\sigma + \sqrt{\sigma^2 + 4\sigma r}} $，满足条件 (11)。
• 对于 $ \sigma = 35, b = 3, r = 35 $，公式成立，因为不等式 (11) 成立：$ 1225 > 114 $，且方程 (10) 的较大根为正。
• 在蒂甘系统中，当 $ a = 2.1, b = 0.6, c = 30 $ 时，变换后的参数 $ \sigma = 2.1, r = 27.9 $ 满足所有条件，李雅普诺夫维数约为 2.692345984。
• 方程 (10) 的较大根 $ \gamma^{(II)} $ 对所有经典混沌参数均为正，证实了精确维数公式的适用性。
• 当条件 (11) 成立时，任意包含原点的有界不变集 $ K $ 的李雅普诺夫维数精确为 $ 3 - \frac{2(\sigma + b)}{\sigma + \sqrt{\sigma^2 + 4\sigma r}} $。
• 当 $ r < 0 $ 或 $ r = 0 $ 且满足某些不等式时，所有有界解趋于平衡点，导致 $ \dim_L K = 0 $，这与零维情况下的李雅普诺夫维数公式一致。