[论文解读] Lyapunov exponent for inertial particles in the 2D Kraichnan model as a problem of Anderson localization with complex valued potential

Péter Horvai|ArXiv.org|Nov 14, 2005

Particle Dynamics in Fluid Flows参考文献 1被引用 9

一句话总结

本文建立了二维湍流中惯性粒子对分离与复势能的安德森局域化问题之间的新联系。通过将相对粒子分离的动力学映射为具有复势能的薛定谔型方程，作者在可解情形下推导出李雅普诺夫指数的精确公式，并解析证明在较大斯托克斯数时，李雅普诺夫指数按 $\mathrm{St}^{-2/3}$ 衰减，为理解湍流中粒子聚集现象提供了严格的理论基础。

ABSTRACT

We exploit the analogy between dynamics of inertial particle pair separation in a random-in-time flow and the Anderson model of a quantum particle on the line in a spatially random real-valued potential. Thereby we get an exact formula for the Lyapunov exponent of pair separation in a special case, and we are able to generalize the class of solvable models slightly, for potentials that are real up to a global complex multiplier. A further important result for inertial particle behavior, supported by analytical computations in some cases and by numerics more generally, is that of the decay of the Lyapunov exponent with large Stokes number (quotient of particle relaxation and flow turn-over time-scales) as Stokes number to the power -2/3.

研究动机与目标

• 建立二维随机流中惯性粒子对分离与复值势能安德森局域化问题之间的数学类比。
• 在广义安德森模型的特定可解情形下，推导李雅普诺夫指数的精确解析表达式。
• 研究大斯托克斯数下李雅普诺夫指数的渐近行为，特别是其与 $\mathrm{St}$ 的标度关系。
• 提供一个理论框架，支持数值观测结果，并纠正先前公式（如Piterbarg的公式）中的不准确之处。
• 为未来关于湍流中惯性粒子动力学的研究提供全面且自洽的参考。

提出的方法

• 将惯性粒子对分离的动力学简化为由线性速度场导出的二维随机微分方程（SDE）。
• 将SDE转化为具有复值势能的薛定谔型方程，从而可应用量子力学中安德森局域化的技术。
• 通过允许势能为全局复数倍的实数，推广经典安德森模型，扩展了可解析求解系统的类别。
• 利用伊藤微积分推导相对分离平方 $|\vec{r}|^2$ 的矩级数，得到 $\vec{\psi}$ 和 $\dot{\vec{\psi}}$ 矩的闭合线性常微分方程组。
• 通过控制矩演化矩阵的最大特征值提取李雅普诺夫指数，实现数值与解析计算。
• 通过正偶数阶矩的外推法缓解刚性问题，使用时间积分估计 $\mathrm{d} \log r^2$ 进行数值模拟。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用复势能安德森局域化的方法，精确计算二维克雷奇南流中惯性粒子对分离的李雅普诺夫指数？
• RQ2 在大斯托克斯数下，李雅普诺夫指数的渐近标度为何？是否遵循普适的幂律？
• RQ3 在安德森局域化框架中，复值势能的引入如何扩展可解析求解模型的类别？
• RQ4 数值模拟在多大程度上验证了分析预测，特别是 $\mathrm{St}^{-2/3}$ 衰减律？
• RQ5 为何Piterbarg在二维情形下对李雅普诺夫指数的公式与数值结果不符？如何进行修正？

主要发现

• 在某些情形下，通过将问题映射到具有复值势能的安德森局域化模型，二维克雷奇南模型中惯性粒子对分离的李雅普诺夫指数可被精确计算。
• 作者推导出一类广义可解的安德森模型，其中势能为全局复数倍的实数，超越了标准实值情形。
• 在大 $\mathrm{St}$ 下，李雅普诺夫指数随斯托克斯数按 $\mathrm{St}^{-2/3}$ 衰减，该结果在特定情形下经解析证明，并在一般情形下通过数值验证。
• 使用基于矩的外推法与刚性缓解技术的数值模拟验证了 $\mathrm{St}^{-2/3}$ 标度，并揭示了与Piterbarg公式之间的差异。
• 对 $|\vec{\psi}|^{2N}$ 的矩级数是闭合且线性的，使得李雅普诺夫指数可作为常系数矩阵的最大特征值被提取。
• 二维情形下矩的方程组简化为包含 $c^n_{k,l} = \langle \psi^k \dot{\psi}^{n-k} \bar{\psi}^l \dot{\bar{\psi}}^{n-l} \rangle$ 的形式，从而可对相对分离的增长率进行解析与数值分析。