[论文解读] Lyapunov exponents and bifurcation current for polynomial-like maps

Ngoc-mai Pham|ArXiv.org|Dec 24, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 26

一句话总结

本文证明了全纯族的多项式类映射的最大的Lyapunov指数的部分和是参数的拟凸函数。它将分岔电流定义为总Lyapunov指数和的dd^c，并将分岔点集识别为这些电流的支集，从而在复动力系统中提供了参数空间不稳定性的动力-几何表征。

ABSTRACT

We study holomorphic families of polynomial-like maps depending on a parameter s. We prove that the partial sums of largest Lyapunov exponents are plurisubharmonic functions of s. We also study their continuity and introduce the bifurcation locus as the support of bifurcation currents.

研究动机与目标

• 研究全纯族的多项式类映射中Lyapunov指数对参数的依赖性。
• 证明最大的Lyapunov指数的部分和是参数s的拟凸函数。
• 将分岔电流定义为总Lyapunov指数和的dd^c，并加以分析。
• 将分岔点集表征为分岔电流的支集。
• 研究总Lyapunov指数函数L_k(s)连续或拟调和的条件，以表征动力系统的稳定性。

提出的方法

• 使用水平正闭电流的理论及截面方法，在参数空间与定义域的积空间上构造一个电流R。
• 应用截面测度构造方法，通过电流R将平衡测度μ_s与每个参数s关联起来。
• 运用dd^c理论与拟凸函数理论，证明函数L_p(s) = 前p个Lyapunov指数之和是拟凸函数。
• 利用总Lyapunov指数L_k(s)有下界(1/2)log d_t的事实，确保分岔电流B_F = dd^c L_k的存在性。
• 应用Dinh-Sibony关于平衡测度与拟凸函数的结果，证明对μ_s积分的拟凸函数是拟凸的。
• 引入高阶分岔电流B_F^i与总空间上的总分岔电流，以研究稳定性和分岔现象。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于全纯族的多项式类映射，p个最大Lyapunov指数之和是否为参数s的拟凸函数？
• RQ2 如何通过参数空间中的电流几何表征分岔点集？
• RQ3 在何种条件下，总Lyapunov指数函数L_k(s)是连续的或拟调和的？
• RQ4 临界集与Julia集无交与族稳定性之间有何关系？
• RQ5 高阶分岔电流B_F^i与参数族的动力学及稳定性有何关系？

主要发现

• 对于1 ≤ p ≤ k，最大的Lyapunov指数的部分和L_p(s) = χ_1(s) + ... + χ_p(s)是参数s的拟凸函数。
• 分岔电流B_F定义为dd^c L_k(s)，是参数空间Λ上的正闭(1,1)-电流。
• 分岔点集被识别为B_F的支集，从而为动力系统发生分岔的参数值提供了几何表征。
• 当平衡测度μ_s为PLB（即d_s^* < d_t）时，函数L_k(s)在s的邻域内连续。
• 若临界集C_s不与Julia集J_s相交，且μ_s为PLB，则L_k(s)为拟调和函数，且族是稳定的，意味着分岔点集为空。
• 高阶分岔电流B_F^i = B_F ∧ ... ∧ B_F（共i次）是良定义的，其支集按余维给出了分岔点集的滤波结构。