[论文解读] (M + 1)-step shift spaces that are not conjugate to M-step shift spaces

Daniel Gonçalves, Danilo Royer|arXiv (Cornell University)|May 28, 2014

semigroups and automata theory被引用 1

一句话总结

本文构建了一个关于无限字母表的 (M+1)-步移位空间的显式族，这些空间不与任何 M-步移位空间共轭，从而证明了 Ott、Tomforde 和 Willis 的一个猜想。该构造通过在字集上定义辅助函数来规定禁止模式，并基于周期序列收敛的拓扑矛盾论证，表明由于像空间中的长度限制，此类 (M+1)-步移位无法与 M-步移位共轭。

ABSTRACT

Recently Ott, Tomforde and Willis proposed a new approach for one sided shift spaces over infinite alphabets. In this new approach the conjugacy classes of shifts of finite type, edge shifts, and M-step shifts are distinct and the authors conjecture that for each non-negative integer M there exist an (M+1)-step shift space that is not conjugate to any M-step shift. In this short paper we build a class of (M+1)-step shifts that are not conjugate to any M-step shift and hence show that their conjecture is correct.

研究动机与目标

• 解决 Ott、Tomforde 和 Willis 提出的一个开放问题，即关于存在不与任何 M-步移位共轭的 (M+1)-步移位空间的问题。
• 证明在无限字母表设置下，M-步移位与 (M+1)-步移位的共轭类是不同的。
• 为所有 M ∈ ℕ ∪ {0} 构造一个显式族的 (M+1)-步移位空间，这些空间不与任何 M-步移位空间共轭。
• 使用移位空间中周期序列收敛的拓扑障碍论证，来证明非共轭性。
• 在保持有限字母表情况下会消失的移位类型差异的前提下，将经典符号动力学框架扩展到无限字母表。

提出的方法

• 通过广义柱集和基于有限禁止模式的拓扑，定义无限字母表上的移位空间。
• 将移位空间表示为 Xf = X^inf_f ∪ X^fin_f，其中 f: ⋃_{k≥1} A^k → {0,1} 编码禁止字。
• 通过辅助函数 ˜f: A^{M+2} → {0,1} 构造 (M+1)-步移位，使得当 |x| ≤ M 时 f(x) = 1，当 |x| ≥ M+1 时 f(x) = ∏_{i=1}^{M+1} ˜f(x_i, ..., x_{i+M})。
• 对 ˜f 施加两个条件：(1) 存在一个无限集合，可将一个周期为 M 的 (M-元组) 扩展为完整的 (M+1)-循环；(2) 任何 (M+1)-元组仅有有限多个扩展。
• 假设存在一个共轭映射 φ: Xf → Yg，将序列从 Xf 提升到一个 M-步移位 Yg，并分析 Xf 中周期序列收敛到有限长度元素的性质。
• 通过证明映射 φ 的像必须包含一个长度为 2M+1 的元素，从而导出矛盾，因为根据扩展的有限性条件，Xf 中不可能存在长度为 M+2 的元素，因此也不存在更长的元素。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于每个 M ∈ ℕ ∪ {0}，是否存在一个关于无限字母表的 (M+1)-步移位空间，使其不与任何 M-步移位空间共轭？
• RQ2 在无限字母表符号动力学框架下，M-步移位与 (M+1)-步移位的共轭类是否不同？
• RQ3 能否构造一个拓扑障碍，利用周期序列的收敛性来阻止 (M+1)-步移位与 M-步移位之间的共轭？
• RQ4 是否可能在无限字母表上定义一个移位空间，使得禁止模式强制实现周期性与有限扩展性质，从而区分移位类型？
• RQ5 关于无限字母表上的移位空间，其何种结构特性阻止了 (M+1)-步移位与 M-步移位共轭？

主要发现

• 对于每个 M ≥ 1，存在一个关于无限字母表的 (M+1)-步移位空间族，它们不与任何 M-步移位空间共轭。
• 该构造使用一个辅助函数 ˜f: A^{M+2} → {0,1}，定义为 ˜f(x1,…,xM+2) = 1 当且仅当 x1 = xM+2，否则为 0，该函数满足非共轭性所需的条件。
• 当 M = 0 时，构造了一个 1-步移位空间，其中仅有有限多个符号具有无限多个后继，该空间不与任何 0-步移位（即全移位）共轭。
• 证明中的矛盾源于共轭像必须包含一个长度为 2M+1 的元素，但 (M+1)-步移位 Xf 中不存在长度为 M+2 的元素，因此也不存在更长的元素。
• 该证明依赖于 Xf 中周期为 M+1 的周期元素序列收敛到一个有限长度元素，且共轭性保持周期性与收敛性。
• 结果确认，在无限字母表设置下，M-步移位的层次结构在共轭意义下是严格递增的，而这一性质在有限字母表情况下不成立。