[论文解读] Magnus embedding and algorithmic properties of groups $F/N^{(d)}$

Funda Gul, Mahmood Sohrabi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文利用 Magnus 嵌入，建立了形式为 $F/N^{(d)}$ 的群中字问题、幂问题和共轭问题的精确可约化图。通过证明 $F/N$ 中字问题的可判定性蕴含 $F/N'$ 中幂问题的可判定性，且 $F/N'$ 中的共轭问题可归约至 $F/N$ 中的幂问题和共轭问题，但反之不成立，解决了《科罗夫卡笔记》中的问题 12.98。大多数归约是多项式时间可计算的。

ABSTRACT

In this paper we further study properties of Magnus embedding, give a precise reducibility diagram for Dehn problems in groups of the form $F/N^{(d)}$, and provide a detailed answer to Problem 12.98 in Kourovka notebook. We also show that most of the reductions are polynomial time reductions and can be used in practical computation.

研究动机与目标

• 使用 Magnus 嵌入阐明 $F/N^{(d)}$ 群中字问题、幂问题和共轭问题之间的逻辑关系。
• 解决《科罗夫卡笔记》中关于自由可解群中这些问题可判定性的问题 12.98。
• 证明大多数决策问题之间的归约是多项式时间可计算的，从而支持实际计算。
• 分析 $F/N'$ 中子集和问题与无环图成员资格问题的复杂性，表明在某些条件下为 NP-完全。

提出的方法

• 使用 Magnus 嵌入将 $F/N'$ 的元素表示为 $\mathbb{Z}[F/N]$ 上的 $2\times 2$ 矩阵。
• 通过归约建立决策问题之间的逻辑蕴含关系，特别是 $\mathbf{WP}(F/N) \Rightarrow \mathbf{PP}(F/N')$ 和 $\mathbf{PP}(F/N) \Rightarrow \mathbf{CP}(F/N')$。
• 利用 HNN 扩张构造反例，证明 $\mathbf{CP}(F/N) \not\Rightarrow \mathbf{CP}(F/N')$。
• 应用 Britton 引理确保所构造 HNN 扩张中字问题与幂问题的可判定性。
• 在多项式时间假设下，将零一方程问题（ZOE）归约为 $F/N'$ 中的子集和问题。
• 利用群论性质，如 $N/N'$ 的无限秩与多项式时间基构造，证明 NP-完全性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 若 $F/N$ 中的字问题可判定，是否意味着 $F/N'$ 中的幂问题也可判定？
• RQ2 是否可将 $F/N'$ 中的共轭问题归约为 $F/N$ 中的幂问题与共轭问题，若可，其条件为何？
• RQ3 是否存在 $\mathbf{CP}(F/N)$ 可判定但 $\mathbf{CP}(F/N')$ 不可判定的情况？
• RQ4 当 $\mathbf{WP}(F/N) \in \mathbf{P}$ 时，$F/N'$ 中子集和问题的计算复杂性如何？
• RQ5 在何种条件下，$F/N'$ 中的无环图成员资格问题属于 P 或 NP-完全？

主要发现

• 字问题 $\mathbf{WP}(F/N)$ 可归约为幂问题 $\mathbf{PP}(F/N')$，且该归约是多项式时间可计算的。
• 幂问题 $\mathbf{PP}(F/N)$ 可归约为共轭问题 $\mathbf{CP}(F/N')$，且该归约也是多项式时间可计算的。
• 存在群 $F/N$ 使得 $\mathbf{CP}(F/N)$ 可判定但 $\mathbf{CP}(F/N')$ 不可判定，表明 $\mathbf{CP}(F/N) \not\Rightarrow \mathbf{CP}(F/N')$。
• 若 $\mathbf{WP}(F/N) \in \mathbf{P}$ 且 $N \neq \{1\}$，则 $\mathbf{SSP}(F/N')$ 为 $\mathbf{NP}$-完全。
• 若 $\mathbf{WP}(F/N) \in \mathbf{P}$ 且 $[F:N] < \infty$，则 $\mathbf{SSP}(F/N') \in \mathbf{P}$。
• 若 $\mathbf{WP}(F/N) \in \mathbf{P}$ 且 $N \neq \{1\}$，则对所有 $d \geq 2$，$F/N^{(d)}$ 中的子集和问题 $\mathbf{SSP}(F/N^{(d)})$ 为 $\mathbf{NP}$-完全。