[论文解读] Maguejo-Smolin Transformation as a Consequence of a Specific Definition of Mass, Velocity, and the Upper limit on Energy

Alex Granik|ArXiv.org|Jul 11, 2002

Nonlinear Waves and Solitons被引用 4

一句话总结

本文从三个物理假定推导出Magueijo-Smolin双特殊相对论变换：所有能量尺度下粒子质量恒定、速度定义与经典相对论一致，以及能量存在上限（普朗克尺度）。通过施加这些约束，作者表明MS变换自然地源自κ-庞加莱代数，解决了先前关于非物理预测的担忧，并为普朗克尺度运动学提供了物理基础。

ABSTRACT

We consider an alternative approach to non-linear special-relativistic theories. The point of departure is not $κ$-deformed algebra (or even group-theoretical considerations) but rather 3 physical postulates defining particle's velocity, mass, and the upper bound on its energy in terms of the respective classical quantities. For a specific definition of particle's velocity we obtain Magueijo-Smolin (MS) version of the double special-relativistic theory. It is shown that this version follows from the $κ$-Poincare algebra by the appropriate choice of on the shell mass, such that it is always less or equal Planck's mass. The $κ$-deformed Hamiltonian is found which invalidates some arguments about unphysical predictions of the MS transformation.

研究动机与目标

• 提供Magueijo-Smolin（MS）变换在双特殊相对论中的物理动机推导，避免依赖群论假设。
• 通过将MS模型建立在关于质量、速度和能量上限的基本物理假定之上，解决其关于非物理预测的批评。
• 证明当质量在经典与普朗克尺度下一致定义时，MS变换自然地源自κ-庞加莱代数。
• 通过将能量-动量上限修改为$ N\kappa $，将框架推广至多粒子系统，恢复近期对加法律的修正。

提出的方法

• 定义无量纲的能量-动量变量$ \pi_\alpha = p_\alpha / \kappa $和$ \Pi_\alpha = P_\alpha / \kappa $，其中$ \kappa $为普朗克能量。
• 施加三个物理假定：(i) 速度定义为$ v^2 = (\Pi / \Pi_0)^2 = (\pi / \pi_0)^2 $，(ii) 质量$ \mu = m / \kappa $在所有尺度下不变，(iii) 上限$ |\pi_0| \leq 1 $，$ |\pi| \leq 1 $。
• 从速度和质量假定推导变换函数$ \pi_0 = f(\Pi_0) $，$ \pi_i = g(\Pi_0)\Pi_i $，导出$ g(\Pi_0) $的微分方程。
• 求解微分方程$ \Pi_0 \frac{dg}{d\Pi_0} + g - g^2 = 0 $，得到$ g(\Pi_0) = \frac{1}{1 + A\Pi_0} $，其中$ A $由能量上限确定。
• 恢复MS变换为$ \pi_0 = \frac{\Pi_0}{1 + \Pi_0} $，$ \pi_i = \frac{\Pi_i}{1 + \Pi_0} $，对应于$ A = 1 $。
• 通过将上限设为$ N $，推广至$ N $个粒子，得到$ A(N) = \frac{1}{N} $，并推导出与近期模型一致的修正能量-动量加法律。

实验结果

研究问题

• RQ1 Magueijo-Smolin变换能否从基本物理假定而非群论假设中推导得出？
• RQ2 当MS变换受到质量、速度和能量上限约束时，其物理一致性是否仍然成立？
• RQ3 在所提出的框架下，多粒子系统中的能量-动量加法律行为如何？
• RQ4 近期[13]对加法律的修正能否在此模型中通过一致的物理原理推导得出？
• RQ5 普朗克尺度能量和动量上限在确保理论物理一致性方面起什么作用？

主要发现

• Magueijo-Smolin变换是三个物理假定的直接结果：质量不变、速度通过动量和能量定义，以及在普朗克尺度存在能量和动量上限。
• 解$ g(\Pi_0) = \frac{1}{1 + \Pi_0} $（对应$ A = 1 $）给出MS变换，其中$ \pi_0 = \frac{\Pi_0}{1 + \Pi_0} $，$ \pi_i = \frac{\Pi_i}{1 + \Pi_0} $。
• 由此框架导出的$ \kappa $-形变哈密顿量否定了MS模型中早期关于非物理预测的论断。
• 对于$ N $个粒子，能量和动量的上限推广为$ N \kappa $，导致$ A(N) = \frac{1}{N} $，从而重现[13]中的修正加法律。
• 修正的加法律（公式43–44）在所有$ \pi_{0k} \ll 1 $或其中一个$ \pi_{0k} = 1 $时退化为标准相对论加法律，确保极限情况的一致性。
• 卡西米尔不变量$ (\Pi_0^{(N)})^2 - (\Pi^{(N)})^2 = (\mu^{(N)})^2 $被保持，证实了在新质量定义下与$ \kappa $-庞加莱代数的一致性。