[论文解读] Markov structures and decay of correlations for non-uniformly expanding dynamical systems

José F. Alves, Stefano Luzzatto+1 more|ArXiv.org|May 17, 2002

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文为紧流形上的非一致扩张动力系统建立了马尔可夫塔结构，表明相关系数的衰减速率由典型点实现一致扩张所需的时间控制。关键贡献在于建立了返回时间尾部分布与相关系数衰减速率之间的定量联系，根据系统的非一致性程度，可得到多项式或指数混合速率。

ABSTRACT

We consider non-uniformly expanding maps on compact Riemannian manifolds of arbitrary dimension, possibly having discontinuities and/or critical sets, and show that under some general conditions they admit an induced Markov tower structure for which the decay of the return time function can be controlled in terms of the time generic points need to achieve some uniform expanding behavior. As a consequence we obtain some rates for the decay of correlations of those maps and conditions for the validity of the Central Limit Theorem.

研究动机与目标

• 理解具有间断点或临界集的非一致扩张动力系统的统计性质。
• 确定非一致扩张性在决定相关系数衰减速率中的作用。
• 建立此类系统中中心极限定理成立的条件。
• 构造一个能捕捉系统统计行为的诱导马尔可夫塔结构。
• 将返回时间的尾部行为与相关系数衰减及遍历性质联系起来。

提出的方法

• 设计一种划分算法，以定义具有明确定义返回时间的马尔可夫塔。
• 利用过渡性和渐近度量估计，控制迭代过程中畸变和扩张速率。
• 定义返回时间函数，并利用几何与测度论估计分析其尾部分布。
• 应用诱导映射，推导出具有长返回时间的集合的勒贝格测度界。
• 利用返回时间尾部的衰减，推导出相关系数衰减函数的界。
• 通过控制返回时间分布和函数空间的正则性，建立中心极限定理成立的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 非一致扩张性如何影响非一致扩张系统中相关系数的衰减速率？
• RQ2 在具有间断点或临界点的非一致扩张映射中，马尔可夫塔结构在何种条件下存在？
• RQ3 返回时间的尾部分布与相关系数衰减之间的确切关系是什么？
• RQ4 此类系统中，可观测量的中心极限定理在何时成立？
• RQ5 相关系数衰减速率能否以典型点实现一致扩张所需时间的函数形式进行量化？

主要发现

• 在一般条件下，系统允许存在诱导马尔可夫塔结构，从而可分析其统计性质。
• 相关系数的衰减由返回时间分布的尾部控制：若返回时间具有多项式尾部衰减，则相关函数亦呈多项式衰减。
• 若返回时间尾部分布呈指数衰减，则相关函数也呈指数衰减，意味着强混合性。
• 对于满足 $\operatorname{Leb}(\{R > n\}) \lesssim n^{-\gamma} $ 的系统，相关系数衰减至少为 $\gamma$ 阶多项式。
• 对于霍尔德连续且非上边缘的可观测量，若返回时间分布满足适当的矩条件，则中心极限定理成立。
• 相关系数衰减速率由扩张性非一致性的程度决定，该程度可通过典型点实现一致扩张所需初始时间来量化。