[论文解读] Markowitz portfolio selection for multivariate affine and quadratic Volterra models

Eduardo Abi Jaber, Enzo Miller+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用 24

一句话总结

本文将马科维茨均值-方差投资组合优化扩展至多变量仿射和二次Volterra模型，引入Riccati倒向随机微分方程（BSDE）以刻画在非马氏、非半鞅设定下具有无界系数的最优策略。通过多维Riccati-Volterra方程为仿射模型推导出显式解，并为二次模型推导出新的解析公式，揭示了在正相关条件下存在“买粗糙，卖平稳”的交易策略。

ABSTRACT

This paper concerns portfolio selection with multiple assets under rough covariance matrix. We investigate the continuous-time Markowitz mean-variance problem for a multivariate class of affine and quadratic Volterra models. In this incomplete non-Markovian and non-semimartingale market framework with unbounded random coefficients, the optimal portfolio strategy is expressed by means of a Riccati backward stochastic differential equation (BSDE). In the case of affine Volterra models, we derive explicit solutions to this BSDE in terms of multi-dimensional Riccati-Volterra equations. This framework includes multivariate rough Heston models and extends the results of \\cite{han2019mean}. In the quadratic case, we obtain new analytic formulae for the the Riccati BSDE and we establish their link with infinite dimensional Riccati equations. This covers rough Stein-Stein and Wishart type covariance models. Numerical results on a two dimensional rough Stein-Stein model illustrate the impact of rough volatilities and stochastic correlations on the optimal Markowitz strategy. In particular for positively correlated assets, we find that the optimal strategy in our model is a `buy rough sell smooth' one.

研究动机与目标

• 解决在粗糙波动率和随机相关性下多变量、非马氏投资组合优化中缺乏可处理解的问题。
• 将马科维茨均值-方差框架扩展至具有无界随机系数的多变量Volterra过程。
• 为仿射和二次Volterra模型推导显式最优投资策略，包括粗糙Heston、Stein-Stein和Wishart型协方差模型。
• 建立二次情形下Riccati BSDE与无穷维Riccati方程之间的联系。
• 通过数值方法展示粗糙波动率和随机相关性对最优投资组合配置的影响。

提出的方法

• 在具有无界系数的不完全部非马氏、非半鞅市场中，制定连续时间马科维茨问题。
• 通过Riccati倒向随机微分方程（BSDE）推导最优投资组合策略，并在一般过滤和可容许性条件下加以验证。
• 对于仿射Volterra模型，利用多维Riccati-Volterra方程表达解，扩展了先前的单变量结果。
• 对于二次Volterra模型，推导Riccati BSDE的新解析公式，并将其与无穷维Riccati方程关联。
• 应用拉普拉斯变换表示法求解仿射和二次情形下的Riccati BSDE。
• 利用随机Fubini定理和广义Grönwall不等式，证明相关指数局部鞅的鞅性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有无界系数、粗糙波动率的多变量、非马氏、非半鞅设定下，如何求解马科维茨均值-方差投资组合问题？
• RQ2 多变量仿射Volterra模型中最优投资组合策略的结构是什么？如何对其进行显式刻画？
• RQ3 能否为多变量二次Volterra模型中Riccati BSDE推导出新的解析解？
• RQ4 粗糙波动率和随机相关性如何影响多资产设定下的最优投资策略？
• RQ5 Riccati-Volterra方程在刻画仿射Volterra模型中最优投资组合时起什么作用？

主要发现

• 多变量仿射Volterra模型中的最优投资组合策略通过多维Riccati-Volterra方程表达，扩展了Han和Wong（2020a）的单变量结果。
• 对于二次Volterra模型，本文推导出Riccati BSDE的新解析公式，并建立了其与无穷维Riccati方程的联系。
• 在二维粗糙Stein-Stein模型上的数值结果表明，资产间的正相关性导致‘买粗糙，卖平稳’的最优策略。
• 通过Novikov条件和广义Grönwall不等式，证明了验证论证中指数局部鞅的鞅性质。
• 该解法框架适用于粗糙Heston、粗糙Stein-Stein和粗糙Wishart型协方差模型，使这些复杂设定下的显式投资组合优化成为可能。
• 在具有无界系数的一般非马氏、非半鞅框架下，严格验证了最优控制的可容许性，克服了先前验证结果的局限性。