[论文解读] Martingale-coboundary decomposition for stationary random fields

Dalibor Volný|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2017

Probability and Risk Models参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文为以 ℤ^d 索引的平稳随机场（具有完全交换过滤）建立了鞅-余边界分解，推广了经典的单变量结果。在 L^p 空间（2 ≤ p < ∞）中给出了此类分解的必要且充分条件，扩展了 Heyde 与 Gordin 的条件，并推导出新的弱不变性原理与大偏差估计，包括 d=1 时阶为 exp(−c|n|^{1/3}) 的指数尾部界。

ABSTRACT

We prove a martingale-coboundary representation for random fields with a completely commuting filtration. For random variables in L2 we present a necessary and sufficient condition which is a generalization of Heyde's condition for one dimensional processes from 1975. For Lp spaces with 2 \leq p &lt; \infty we give a necessary and sufficient condition which extends Volny's result from 1993 to random fields and improves condition of El Machkouri and Giraudo from 2016 (arXiv:1410.3062). In application, new weak invariance principle and estimates of large deviations are found.

研究动机与目标

• 将鞅-余边界分解从一维平稳过程推广至具有完全交换过滤的 d 维随机场。
• 在 L^p (2 ≤ p < ∞) 中建立分解的必要且充分条件，将 Heyde (1975) 与 Volný (1993) 的结果推广至高维情形。
• 利用分解推导随机场的新弱不变性原理与大偏差估计。
• 在多维设定下，改进现有条件（如 Dedecker-Rio、Maxwell-Woodroofe 与 El Machkouri-Giraudo 的条件）

提出的方法

• 通过在每个维度 q 上对正交增量 σ 代数 F_l^{(q)} 上的投影算子 P_j^{(q)} 进行基于投影的分解。
• 定义分解 f = ∑_{S⊂{1,…,d}} ∏_{q∈S^c}(I - U_{ε_q})g_S，其中 g_S 属于过滤的正交增量。
• 应用正交鞅差性质与迭代矩不等式，以控制部分和的 L^p 范数。
• 采用类似 Burkholder 的不等式与马尔可夫不等式，推导 L^p 与 Orlicz 范数下的大偏差估计。
• 使用 Orlicz 范数 ψ_α(x) = exp((x + h_α)^α) − exp(h_α^α)，获得指数尾部界。
• 将分解应用于推导弱不变性原理与精确尾部估计，包括 d=1 时阶为 exp(−c|n|^{1/3}) 的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 f ∈ L^p(ℤ^d) 的何种条件下，可确保在完全交换随机场背景下实现鞅-余边界分解？
• RQ2 如何将 Heyde 与 Gordin 的条件推广至满足 p ≥ 2 的 d 维随机场？
• RQ3 该分解可导出哪些大偏差估计？与一维情形下的已知界相比如何？
• RQ4 在新 L^p 条件下，能否建立弱不变性原理？其收敛速率为何？
• RQ5 在多维设定下，新条件与 Dedecker-Rio 或 Maxwell-Woodroofe 等现有条件相比如何？

主要发现

• 建立了 L^p (2 ≤ p < ∞) 中鞅-余边界分解的必要且充分条件，将 Volný (1993) 的结果推广至随机场。
• 该分解在新 L^p 条件下蕴含弱不变性原理，将经典结果推广至高维情形。
• 导出 L^p 范数估计：||∑_{1≤i≤n} U_i f||_p ≤ 2^{2d} p^{d/2} |n|^{1/2} ∑_S ||g_S||_p。
• 获得大偏差界：μ(∑_{1≤i≤n} U_i f > x|n|) ≤ 2^{2dp} p^{dp/2} (∑_S ||g_S||_p)^p x^{-p} |n|^{-p/2}。
• 当 d=1 且 q=2/3 时，尾部估计达到阶 exp(−c|n|^{1/3})，与 [LV01] 在一维情形下的精确界一致。
• Orlicz 范数版本给出：μ(∑ U_i f > x) ≤ (1+e^{h_q^q}) exp(−(x/(C|n|^{1/2} ∑ ||g_S||_{ψ_{β_q}} + h_q))^{q})，当 q=2/3 时呈现指数衰减。