[论文解读] Martingale Functional Control variates via Deep Learning

Marc Sabaté Vidales, David Šiška+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Reservoir Engineering and Simulation Methods被引用 2

一句话总结

本文提出了一种基于深度学习的方法，用于同时计算参数化PDE的解及其梯度，通过局部鞅函数控制变分法实现无偏的衍生品定价。通过将神经网络近似与伊藤积分表示定理下的蒙特卡洛模拟相结合，该方法即使在神经网络训练不理想的情况下仍能实现稳健的黑箱性能，且在高维问题（最高达100维）中表现出色。

ABSTRACT

We develop several deep learning algorithms for approximating families of parametric PDE solutions. The proposed algorithms approximate solutions together with their gradients, which in the context of mathematical finance means that the derivative prices and hedging strategies are computed simulatenously. Having approximated the gradient of the solution one can combine it with a Monte-Carlo simulation to remove the bias in the deep network approximation of the PDE solution (derivative price). This is achieved by leveraging the Martingale Representation Theorem and combining the Monte Carlo simulation with the neural network. The resulting algorithm is robust with respect to quality of the neural network approximation and consequently can be used as a black-box in case only limited a priori information about the underlying problem is available. We believe this is important as neural network based algorithms often require fair amount of tuning to produce satisfactory results. The methods are empirically shown to work for high-dimensional problems (e.g. 100 dimensions). We provide diagnostics that shed light on appropriate network architectures.

研究动机与目标

• 开发一种深度学习算法，同时近似参数化PDE的解及其梯度。
• 通过利用局部鞅表示定理，降低基于神经网络的PDE求解器中的偏差。
• 构建一种鲁棒的黑箱方法，即使在缺乏先验知识或神经网络训练不充分的情况下仍保持有效性。
• 实现高维PDE解的求解（例如100维），并提供可靠的网络架构选择诊断工具。
• 在数学金融应用中，同时计算衍生品价格与对冲策略。

提出的方法

• 训练深度神经网络，以近似一族参数化PDE的解及其梯度。
• 将神经网络的梯度估计用作蒙特卡洛模拟框架中的控制变分量。
• 应用局部鞅表示定理，构建一种可消除神经网络近似偏差的控制变分量。
• 将神经网络输出与蒙特卡洛路径结合，形成局部鞅函数控制变分量。
• 通过依赖局部鞅表示的理论性质，确保方法对神经网络不准确性的鲁棒性。
• 利用该方法导出的诊断工具，指导合适神经网络架构的选择。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用深度神经网络以一种可实现控制变分法偏差校正的方式，同时近似PDE的解及其梯度？
• RQ2 当神经网络近似效果较差或调参不佳时，所提出的方法如何保持鲁棒性？
• RQ3 该方法在金融衍生品定价中常见的高维PDE问题（例如100维）中，其适用范围有多大？
• RQ4 局部鞅表示定理在实现基于神经网络输出的无偏估计中起到何种作用？
• RQ5 该方法导出的诊断工具如何为PDE解的神经网络架构设计提供有效指导？

主要发现

• 通过利用局部鞅表示定理，所提出的方法成功消除了基于深度神经网络近似的PDE解中的偏差。
• 即使神经网络训练不佳，该算法仍保持鲁棒性，作为黑箱方法在极少先验问题知识下有效运行。
• 通过梯度感知网络输出，该方法可同时实现准确的衍生品定价与对冲策略计算。
• 实证结果证实该方法在高维问题中的有效性，包括高达100维的问题。
• 从方法中导出的诊断工具为实际中选择合适的神经网络架构提供了可操作的洞察。