[论文解读] Martingale representation processes and applications in the market viability with information flow expansion

Shiqi Song|arXiv (Cornell University)|May 4, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文证明，在局部鞅表示性质下，市场信息扩展的完全可行性意味着漂移乘数假设。论文引入了表示过程的两个关键性质——路径正交分量的局部有界性与跳跃测度的有限可预测约束，从而简化了计算，并证明了在滤子扩张下，漂移乘数条件对于可行性的必要性。

ABSTRACT

When the extit{martingale representation property} holds, we call any local martingale which realizes the representation a extit{representation process}. There are two properties of the extit{representation process} which can greatly facilitate the computations under the extit{martingale representation property}. Actually, on the one hand, the extit{representation process} is not unique and there always exists a extit{representation process} which is locally bounded and has pathwisely orthogonal components outside of a predictable thin set. On the other hand, the jump measure of a extit{representation process} satisfies the extit{finite predictable constraint}. In this paper, we give a detailed account of these two properties. As application, we will prove that, under the extit{martingale representation property}, the extit{full viability} of an expansion of market information flow implies the extit{drift multiplier assumption}.

研究动机与目标

• 澄清在局部鞅表示性质下表示过程的结构性质。
• 证明表示过程可在可预测的薄集外被重构为局部有界且具有路径正交分量的形式。
• 表明跳跃测度的有限可预测约束可使局部鞅的局部鞅投影性质成立。
• 建立局部鞅投影性质与有限可预测约束之间的等价性。
• 证明在局部鞅表示性质下，扩展信息流的完全可行性意味着漂移乘数假设。

提出的方法

• 本文在局部鞅表示性质的背景下分析表示过程，重点关注其路径正交结构与局部有界性。
• 引入并刻画了局部鞅跳跃测度的有限可预测约束，将其与局部鞅投影性质联系起来。
• 利用雅科布的半鞅理论与可预测对偶投影，推导出局部鞅投影性质成立的条件。
• 将该理论应用于滤子扩张，特别是假设 (H′)，以将漂移乘数假设与市场完全可行性联系起来。
• 构造一个可预测过程 $ G^{ullet}_h $，使得 $ \Gamma(X^{ullet}_h) = G^{ullet}_h \centerdot [X^{ullet}_h, X^{ullet}_h]^{\mathbb{F}\cdot p} $，从而建立漂移算子的关键恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在局部鞅表示性质下，表示过程能否系统性地重构，以确保局部有界性与路径正交分量？
• RQ2 有限可预测约束在确保跳跃测度的局部鞅投影性质中起什么作用？
• RQ3 局部鞅投影性质如何与局部鞅的可预测对偶投影的存在性相关联？
• RQ4 在何种条件下，扩展滤子的完全可行性意味着漂移乘数假设？
• RQ5 在可行的市场模型中，漂移算子能否表示为资产过程的可预测二次变差的随机积分？

主要发现

• 在局部鞅表示性质下，表示过程总可被选择为在可预测的薄集外局部有界且具有路径正交分量。
• 局部鞅跳跃测度的有限可预测约束是局部鞅投影性质成立的必要且充分条件。
• 局部鞅投影性质等价于空间 $ W_*(\mu - \nu) $-可积函数与集合 $ {}^{\top}\!H \centerdot M $（其中 $ M $-可积的 $ H $）一致的条件。
• 漂移算子 $ \Gamma(X^{ullet}_h) $ 可表示为 $ G^{ullet}_h \centerdot [X^{ullet}_h, X^{ullet}_h]^{\mathbb{F}\cdot p} $，在扩展滤子中建立了关键恒等式。
• 当原始滤子满足局部鞅表示性质时，扩展信息流的完全可行性意味着漂移乘数假设。