[论文解读] Martingale-type processes indexed by the real line

Andreas Basse-O’Connor, Svend-Erik Graversen+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文引入并分析了增量鞅——在实直线上索引的随机过程，其在时间区间上的增量构成鞅——重点研究其在时间趋于负无穷时的行为。文章建立了几乎必然存在极限 $ M_{-\infty} = \lim_{t\to-\infty} M_t $ 的必要与充分条件，并定义了两种随机积分：增量积分与从 $-\infty$ 出发的正规随机积分，表明后者存在当且仅当前者具有几乎必然极限，且所得过程为局部鞅。

ABSTRACT

Some classes of increment martingales, and the corresponding localized classes, are studied. An increment martingale is indexed by the real line and its increment processes are martingales. We focus primarily on the behavior as time goes to minus infinity in relation to the quadratic variation or the predictable quadratic variation, and we relate the limiting behavior to the martingale property. Finally, integration with respect to an increment martingale is studied.

研究动机与目标

• 定义并研究在实直线上索引的增量鞅，其中任意区间上的增量过程为鞅。
• 刻画极限 $ M_{-\infty} = \lim_{t\to-\infty} M_t $ 几乎必然存在的条件。
• 以预测过程或二次变差为条件，建立 $ M - M_{-\infty} $ 为局部鞅的必要与充分条件。
• 定义并分析关于增量鞅的两种随机积分：增量积分与从 $-\infty$ 出发的正规积分。
• 在布朗运动增量生成的滤链中，提供一个鞅表示结果。

提出的方法

• 引入增量鞅 $ M = (M_t)_{t \in \mathbb{R}} $ 的概念，其中对所有 $ s \in \mathbb{R} $，有 $ (M_{t+s} - M_s)_{t \geq 0} $ 为鞅，从而推广标准鞅。
• 定义两种随机积分：$ \phi \mathrel{\smash{\stackrel{{\scriptstyle\scriptstyle\mathrm{in}}}{{\bullet}}}} M $，即增量积分；以及 $ \phi \bullet M $，即从 $-\infty$ 出发的正规积分，后者存在当且仅当前者在几乎必然意义下有极限，且差值为局部鞅。
• 通过增量鞅的分解，将 $ M_{-\infty} $ 的存在性与预测二次变差 $ \langle M \rangle $ 或二次变差 $ [M] $ 的可积性联系起来。
• 应用雅科布与施里亚耶夫（2003）中的标准鞅理论与随机积分理论，聚焦于 $ -\infty $ 处的行为，利用预测过程与停时推导条件。
• 证明 $ \mathcal{L}L^1(M) $ 是使随机积分 $ \phi \bullet M $ 有定义且为局部鞅的最大类。
• 证明一个鞅表示结果：对任意 $ M \in \mathcal{ILM}(\mathcal{F}_{\cdot}^{\mathcal{I}B}) $，存在 $ \phi \in \mathcal{IL}L^1(B) $ 使得 $ M = \phi \mathrel{\smash{\stackrel{{\scriptstyle\scriptstyle\mathrm{in}}}{{\bullet}}}} B $；对任意 $ M \in \mathcal{LM}(\mathcal{F}_{\cdot}^{\mathcal{I}B}) $，有 $ M = M_{-\infty} + \phi \bullet B $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于增量鞅 $ M $，在何种条件下 $ \lim_{t\to-\infty} M_t $ 几乎必然存在？
• RQ2 在何种条件下 $ M - M_{-\infty} $ 为局部鞅，且其可通过预测过程或二次变差刻画？
• RQ3 从 $-\infty$ 出发的随机积分 $ \phi \bullet M $ 存在的必要与充分条件是什么？
• RQ4 增量积分 $ \phi \mathrel{\smash{\stackrel{{\scriptstyle\scriptstyle\mathrm{in}}}{{\bullet}}}} M $ 与正规积分 $ \phi \bullet M $ 之间有何关系，后者在何种条件下有定义？
• RQ5 是否每个在布朗运动增量滤链中的增量局部鞅均可表示为对该布朗运动的积分？

主要发现

• 极限 $ M_{-\infty} = \lim_{t\to-\infty} M_t $ 几乎必然存在的充要条件是预测二次变差 $ \langle M \rangle $ 在 $ -\infty $ 处有限，对连续过程而言该条件尤为简洁。
• $ M - M_{-\infty} $ 为局部鞅当且仅当二次变差 $ [M] $ 在 $ -\infty $ 处局部可积，或等价地，当 $ \langle M \rangle $ 局部有限。
• 随机积分 $ \phi \bullet M $ 有定义当且仅当增量积分 $ \phi \mathrel{\smash{\stackrel{{\scriptstyle\scriptstyle\mathrm{in}}}{{\bullet}}}} M $ 在 $ -\infty $ 处有几乎必然极限，且 $ \phi \mathrel{\smash{\stackrel{{\scriptstyle\scriptstyle\mathrm{in}}}{{\bullet}}}} M - \phi \mathrel{\smash{\stackrel{{\scriptstyle\scriptstyle\mathrm{in}}}{{\bullet}}}} M_{-\infty} $ 为局部鞅。
• $ \mathcal{L}L^1(M) $ 是使积分 $ \phi \bullet M $ 可定义且为局部鞅的最大集合，且对所有 $ \phi \in \mathcal{L}L^1(M) $，有 $ \phi \bullet M_{-\infty} = 0 $。
• 在由布朗运动 $ B $ 的增量生成的滤链中，任意 $ M \in \mathcal{ILM}(\mathcal{F}_{\cdot}^{\mathcal{I}B}) $ 可表示为 $ M = \phi \mathrel{\smash{\stackrel{{\scriptstyle\scriptstyle\mathrm{in}}}{{\bullet}}}} B $，其中 $ \phi \in \mathcal{IL}L^1(B) $；任意 $ M \in \mathcal{LM}(\mathcal{F}_{\cdot}^{\mathcal{I}B}) $ 可表示为 $ M = M_{-\infty} + \phi \bullet B $。
• 对连续过程 $ M $，$ M_{-\infty} $ 存在的条件等价于对所有 $ t $，有 $ \int_{-\infty}^t \sigma_u^2 du < \infty $，其中 $ \sigma $ 为波动率过程，该结果推广了 Lévy 的刻画定理。