[论文解读] MASA's and certain type I closed faces of C*-algebras

Lawrence G. Brown|ArXiv.org|Aug 16, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文通过建立在特定条件下，一个极大阿贝尔自伴子代数（MASA）可遗传地生成一个可分C*-代数，并且每个纯态限制在MASA上具有唯一扩张性质，从而推广了关于C*-代数中极大阿贝尔自伴子代数（MASAs）的结果。关键贡献在于提出了一个充分条件，涉及一个完全不连通、第二可数、局部紧致的豪斯多夫空间X，以及在对偶中的正交极小投影，确保与X的紧致子集相关的闭投影位于MASA的对偶中。

ABSTRACT

A result of Akemann, Anderson, and Pedersen states that if a sequence of pure states of a C*-algebra A approaches infinity in a certain sense, then there is a MASA B such that each of the states has the unique extension property with respect to B. We generalize this in two ways: We prove that B can be required to contain an approximate identity of A, and we show that the discrete space which underlies the result cited can be replaced with a totally disconnected space. We consider two special kinds of type I closed faces, both related to the above, atomic closed faces and closed faces with nearly closed extreme boundary. One specific question is whether an atomic closed face always has an "isolated point". We give a counterexample for this and also show that the answer is yes if the the atomic face has nearly closed extreme boundary. We prove a complement to Glimm's theorem on type I C*-algebras which arises from the theory of type I closed faces. One of our examples is a type I closed face which is isomorphic to a closed face of every non-type I separable C*-algebra and which is not isomorphic to a closed face of any type I C*-algebra.

研究动机与目标

• 通过确保MASA在代数中遗传地生成，强化Akemann、Anderson和Pedersen在非单位C*-代数中关于MASAs的结果。
• 研究在[5]中构造的MASA在何种条件下可被证明在A中遗传地生成，特别是通过分析单位化代数A˜的作用。
• 将MASA结果从离散空间推广到非离散、局部紧致、完全不连通的空间，如ℕ ∪ {∞}。
• 研究投影的闭面中孤立点的存在性，受散射C*-代数理论的启发。
• 引入并分析C*-代数中类型I闭面的概念，特别是与重心公式和闭投影的关系。

提出的方法

• 使用非单位C*-代数A的单位化Â，将A中存在一个遗传地生成MASA B与Â中包含单位元的MASA B₁的存在性联系起来。
• 应用投影上的q连续性和强q连续性概念，借鉴[7]和[11]的结果，分析A**中元素的相对连续性。
• 引入近似闭极边界（NCEB）条件：[P(A) ∩ F(p)]⁻ ⊆ {0} ∪ [t,1]P(A) 对某个t ∈ (0,1]，该条件确保从纯态空间的闭包到局部紧致豪斯多夫空间X存在一个适当的闭映射。
• 证明在NCEB条件和pA*p的范数可分性下，空间X是可数的且散射的，从而能够为X的闭子集构造闭投影。
• 利用直接积分理论和W*-代数结构，证明X的闭子集诱导出A**中的闭投影。
• 建立若投影p满足重心公式和条件(G)，则p为类型I，利用第5节的结果以及pA**p作为W*-代数的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非单位C*-代数中的MASA既能遗传地生成代数，又能保持纯态限制下的唯一扩张性质？
• RQ2 在A的单位化中MASA的存在性在何种条件下能推出A中存在一个遗传地生成的MASA？
• RQ3 每个在A**中的闭投影p，若满足pA*p范数可分，是否都存在一个极小投影p₀，使得p−p₀为闭？
• RQ4 纯态空间的何种拓扑条件能确保纯态的等价类诱导出到局部紧致豪斯多夫空间X的适当闭映射？
• RQ5 在何种条件下，C*-代数的闭面F(p)为类型I，特别是与重心公式和pA**p的结构相关时？

主要发现

• 在可分C*-代数A中存在一个MASA B，使得B遗传地生成A，且每个φₓ|B具有唯一扩张性质，前提是X为完全不连通、第二可数、局部紧致的豪斯多夫空间，且正交极小投影(pₓ)满足：对每个紧致S ⊆ X，∑ₓ∈S pₓ为闭。
• NCEB条件意味着P(A) ∩ F(p)上的等价关系诱导出到局部紧致豪斯多夫空间X的适当闭映射；若pA*p范数可分，则X为可数的，因而为散射空间。
• 对于满足重心公式和条件(G)的闭投影p，可推出p为类型I，即pA**p为类型I W*-代数。
• 若p为A**中的闭投影，且pA*p范数可分，X为可数集，则p的每个非零闭子投影都包含一个极小投影p₁，使得p′−p₁为闭。
• 当将pAp识别为{x ∈ B(H₀) : x − (xv₀,v₀)I_{H₀} ∈ K(H₀)}时，其对偶空间自然等距同构于迹类算子T(H₀)，其范数由迹对偶性给出。
• 代数pAp不等于B(H₀)，而是由其与单位算子的倍数之差为紧算子的算子构成，且该结构在对偶下保持不变。