[论文解读] Mass formulas for local Galois representations and quotient singularities I: a comparison of counting functions

Melanie Machett Wood, Takehiko Yasuda|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文通过精化的 McKay 对应关系，建立了局部伽罗瓦表示的 Bhargava 质量公式与点的 Hilbert 模丛之间的对偶性，表明在 $ S_n $-作用于 $ \mathbb{A}^2 $ 的情形下，Artin 导子的计数函数与动机权重之间通过替换 $ q \leftrightarrow q^{-1} $ 相关联。关键结果证明了关于 Hilbert 模丛 $ H_{\mathcal{O}_K} $ 的猜想 5.17，该模丛是 $ S^n\mathbb{A}^2 $ 的共形解析，通过动机积分将平展扩张与商奇点联系起来。

ABSTRACT

We study a relation between the Artin conductor and the weight coming from the motivic integration over wild Deligne-Mumford stacks. As an application, we prove some version of the McKay correspondence, which relates Bhargava's mass formula for extensions of a local field and the Hilbert scheme of points.

研究动机与目标

• 澄清 Bhargava 的局部伽罗瓦表示质量公式与点的 Hilbert 模丛生成函数之间的结构相似性。
• 建立一个动机 McKay 对应关系，将伽罗瓦表示与商奇点的计数函数在野性与良性情形下联系起来。
• 证明一个猜想，即关于 $ \mathbb{F}_q $-点在局部 Hilbert 模丛上的数量与基于动机积分导出权重的伽罗瓦表示加权和之间存在关联。
• 证明在 $ S_n $-作用于 $ \mathbb{A}^2 $ 的情形下，Artin 导子与动机权重函数在 $ q \leftrightarrow q^{-1} $ 下具有对偶性。

提出的方法

• 使用野性 Deligne-Mumford 栈上的动机积分，将伽罗瓦表示 $ \rho $ 的 Artin 导子与权重函数 $ \mathbf{w}(\rho) $ 联系起来。
• 应用局部 Hilbert 模丛 $ Z \subset H_{\mathcal{O}_K} $ 的胞腔分解，将 $ \sharp Z(\mathbb{F}_q) $ 计算为以 $ P(n, n-m) $ 为系数的分拆之和。
• 依赖 Bhargava 公式与 Kedlaya 的解释，将总质量 $ M(K, S_n, -\mathbf{a}) $ 表示为以 $ q^{-m} $ 项构成的分拆之和。
• 通过恒等式 $ \mathbf{w}_{2\sigma}(\rho) = 2\mathbf{t}_\sigma(\rho) - \mathbf{a}_\sigma(\rho) $ 建立 $ \mathbf{a}(\rho) $ 与 $ \mathbf{w}(\rho) $ 之间的对偶性，其中 $ \mathbf{t}_\sigma $ 表示不动点的余维数。
• 利用 Hilbert-Chow 满射 $ H_R \to X_R $，在 $ \mathcal{O}_K $ 上实现 $ H_R $ 为对称积 $ X_R = S^n\mathbb{A}^2 $ 的共形解析。
• 应用推论 4.9，将总质量 $ M(K, S_n, -\mathbf{w}_{2\sigma}) $ 表示为分拆之和，与 $ Z $ 上的点计数一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在局部伽罗瓦表示的背景下，Artin 导子 $ \mathbf{a}(\rho) $ 与动机权重 $ \mathbf{w}(\rho) $ 之间有何关系？
• RQ2 能否通过 Deligne-Mumford 栈上的动机积分，将 McKay 对应关系扩展到野性情形？
• RQ3 为何在 $ S_n $-作用于 $ \mathbb{A}^2 $ 的情形下，Bhargava 质量公式与 Hilbert 模丛点计数之间存在 $ q \leftrightarrow q^{-1} $ 的对偶性？
• RQ4 在何种条件下，共形解析中原点的逆像上 $ \mathbb{F}_q $-点的数量等于伽罗瓦表示的加权和？
• RQ5 猜想 $ \sharp Z(\mathbb{F}_q) $ 与 $ \frac{1}{|\Gamma|} \sum_{\rho} q^{\mathbf{w}(\rho)} $ 对 $ \Gamma = S_n $ 与 $ X = S^n\mathbb{A}^2 $ 是否成立？

主要发现

• 对于 $ \Gamma = S_n $，$ X = S^n\mathbb{A}^2 $，$ Y = H_{\mathcal{O}_K} $，猜想 $ \sharp Z(\mathbb{F}_q) = \frac{1}{|\Gamma|} \sum_{\rho \in \mathrm{Hom}_{\mathrm{cont.}}(G_K, \Gamma)} q^{\mathbf{w}(\rho)} $ 成立，从而证明了定理 5.21。
• 局部 Hilbert 模丛 $ Z $ 上的 $ \mathbb{F}_q $-点数量为 $ \sum_{m=0}^{n-1} P(n, n-m) q^m $，与 Ellingsrud 与 Strømme 的生成函数一致。
• 总质量 $ M(K, S_n, -\mathbf{w}_{2\sigma}) $ 等于 $ \sum_{m=0}^{n-1} P(n, n-m) q^m $，证实了在 $ q \leftrightarrow q^{-1} $ 下 $ \mathbf{a}(\rho) $ 与 $ \mathbf{w}(\rho) $ 的对偶性。
• 对每个 $ \rho $，有 $ \mathbf{w}_{2\sigma}(\rho) = 2\mathbf{t}_\sigma(\rho) - \mathbf{a}_\sigma(\rho) $，其中当 $ \rho $ 对应于具有 $ n - m $ 个部分的分拆时，$ \mathbf{t}_\sigma(\rho) = m $。
• 公式 $ \sharp Z(\mathbb{F}_q) = \sum_{m=0}^{n-1} P(n, n-m) q^m $ 在 $ \mathcal{O}_K $ 为局部域 $ K $ 的整环时，无论剩余域特征如何均成立。
• 该结果为 $ S_n $-作用于 $ \mathbb{A}^2 $ 情形下的野性 McKay 对应关系提供了强有力证据，将先前结果推广至 $ \mathcal{O}_K $ 上的全局情形。