[论文解读] Matching Is as Easy as the Decision Problem, in the NC Model

Nima Anari, Vijay V. Vazirani|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 31被引用 3

一句话总结

本文提出了一种在边权多项式有界的任意图中寻找最小权完美匹配（MWPM）的NC算法，假设可访问一个求解判定问题的预言机：'是否存在权值至多为W的完美匹配？' 核心贡献在于将寻找确定性并行MWPM的问题归约为求解该判定问题，从而将长期悬而未决的'匹配是否在NC中？'问题的核心难点隔离出来。

ABSTRACT

Is matching in NC, i.e., is there a deterministic fast parallel algorithm for it? This has been an outstanding open question in TCS for over three decades, ever since the discovery of randomized NC matching algorithms [KUW85, MVV87]. Over the last five years, the theoretical computer science community has launched a relentless attack on this question, leading to the discovery of several powerful ideas. We give what appears to be the culmination of this line of work: An NC algorithm for finding a minimum-weight perfect matching in a general graph with polynomially bounded edge weights, provided it is given an oracle for the decision problem. Consequently, for settling the main open problem, it suffices to obtain an NC algorithm for the decision problem. We believe this new fact has qualitatively changed the nature of this open problem. All known efficient matching algorithms for general graphs follow one of two approaches: given by Edmonds [Edm65] and Lovász [Lov79]. Our oracle-based algorithm follows a new approach and uses many of the ideas discovered in the last five years. The difficulty of obtaining an NC perfect matching algorithm led researchers to study matching vis-a-vis clever relaxations of the class NC. In this vein, recently Goldwasser and Grossman [GG15] gave a pseudo-deterministic RNC algorithm for finding a perfect matching in a bipartite graph, i.e., an RNC algorithm with the additional requirement that on the same graph, it should return the same (i.e., unique) perfect matching for almost all choices of random bits. A corollary of our reduction is an analogous algorithm for general graphs.

研究动机与目标

• 通过将长期悬而未决的'匹配是否在NC中？'问题归约为可访问预言机的判定问题，以解决该开放性问题。
• 将该判定问题识别为确定性并行匹配算法的核心瓶颈。
• 利用基于预言机的框架，将近期在并行匹配算法方面的进展推广至一般图。
• 在一般图中提供一种伪确定性RNC算法用于MWPM，将先前针对二分图的结果扩展至一般图。
• 证明在最小封闭图族中，寻找MWPM的问题可归约为该族的判定问题。

提出的方法

• 设计一个NC算法，利用预言机O来判定给定图中是否存在权值≤W的完美匹配，且边权较小。
• 利用近期针对平面图的NC算法中的结构洞见，特别是平衡可行集合与紧密奇数集合的层叠族的应用。
• 使用NC过程，在完美匹配多面体的一个面内找到一组极大层叠的紧密奇数集合，基于Cygan、Gabow与Sankowski的前期工作。
• 通过PartialMatching的递归约简策略，对三元组进行收缩或应用权向量，每轮迭代将边数减少常数倍。
• 确保每次递归调用将顶点数减少至5/6，从而保证递归深度为O(log |V| · log² |V|)，确保NC复杂度。
• 通过在W上进行二分查找计算最小权值，该过程与判定问题NC等价，从而支持基于RNC的伪确定性算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在NC模型中将一般图中寻找最小权完美匹配的问题归约为可访问预言机的判定问题？
• RQ2 若MWPM的NC判定预言机存在，是否意味着在一般图中存在NC算法用于MWPM？
• RQ3 能否通过预言机框架将平面图中使用的技术推广至任意图？
• RQ4 是否可能利用判定预言机在一般图中构造一个伪确定性RNC算法用于MWPM？
• RQ5 当判定问题在NC中可解时，最小封闭图族在MWPM上的NC可解性在多大程度上可被继承？

主要发现

• 在假设存在判定问题预言机（'是否存在权值至多为W的完美匹配？'）的前提下，实现了在一般图中求解MWPM的NC算法。
• 该算法在多项式多处理器下以多项式对数时间运行，递归深度被限制在O(log |V| · log² |V|)，确保NC复杂度。
• 每经过O(log² |V|)步，非孤立边的数量减少常数倍，从而保证迭代次数为多项式对数级。
• 该算法仅需对输入图的子图（minor）进行预言机访问，从而可推广至最小封闭图族。
• 通过将预言机替换为Mulmuley、Vazirani与Vazirani的RNC算法，获得了在一般图中求解MWPM的伪确定性RNC算法。
• 该结果意味着，若判定问题在NC中可解，将解决'匹配是否在NC中？'这一主要开放性问题。