[论文解读] $\mathcal{N}=(3,3)$ holography on ${ m AdS}_3 imes ({ m S}^3 imes { m S}^3 imes { m S}^1)/\mathbb Z_2$

Lorenz Eberhardt, Ida G. Zadeh|arXiv (Cornell University)|May 24, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文提出在 $\mathrm{AdS}_3 \times (\mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^1)/\mathbb{Z}_2$ 上的 IIB 弦理论存在一个 $\mathcal{N}=(3,3)$ 全息对偶，猜想其对偶的 CFT 是由四个自由费米子和一个自由玻色子组成的理论 $\mathcal{S}_0$ 的对称积 orbifold。作者在两侧匹配了 BPS 谱，并计算了修正的椭圆亏格，发现完全一致，为该对偶提供了强有力证据。

ABSTRACT

We consider string theory on AdS$_3$ $ imes$ (S$^3$ $ imes$ S$^3$ $ imes$ S$^1)/\mathbb Z_2$, a background supporting $\mathcal N=(3,3)$ spacetime supersymmetry. We propose that string theory on this background is dual to the symmetric product orbifold of $\mathcal S_0/\mathbb Z_2$ where $\mathcal S_0$ is a theory of four free fermions and one free boson. We show that the BPS spectra of the two sides of the duality match precisely. Furthermore, we compute the elliptic genus of the dual CFT and that of the supergravity limit of string theory and demonstrate that they match, hence providing non-trivial support for the holographic proposal.

研究动机与目标

• 将 $\mathrm{AdS}_3$/CFT$_2$ 对应关系扩展至具有降低的 $\mathcal{N}=(3,3)$ 时空超对称性的背景。
• 研究在 orbifold $\mathrm{AdS}_3 \times (\mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^1)/\mathbb{Z}_2$ 上的弦理论，该背景通过交换两个 $\mathrm{S}^3$ 因子并反射 $\mathrm{S}^1$ 的 $\mathbb{Z}_2$ 作用将 $\mathcal{N}=(4,4)$ 降低为 $\mathcal{N}=(3,3)$。
• 提出对偶 CFT 为 $\mathcal{S}_0/\mathbb{Z}_2$ 的对称积 orbifold，其中 $\mathcal{S}_0$ 是一个由四个自由费米子和一个自由玻色子组成的理论。
• 通过在全息侧与边界 CFT 之间匹配 BPS 谱与修正的超对称指标（椭圆亏格），为对偶提供非平凡证据。
• 在 $\mathcal{N}=(3,3)$ CFT 的 NS sector 中定义并计算一个非零指标，该指标原本因费米子零模而平凡化。

提出的方法

• 该对偶关系提出于弦理论在 $\mathrm{AdS}_3 \times (\mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^1)/\mathbb{Z}_2$ 上与对称积 orbifold $\mathrm{Sym}^N(\mathcal{S}_0/\mathbb{Z}_2)$ 之间，其中 $\mathcal{S}_0$ 是一个由四个费米子和一个玻色子构成的自由 CFT。
• 在全息侧（通过 WZW 模型与 orbifold 投影）与边界侧（通过对称积 orbifold 构造）分别计算了 BPS 谱，结果完全一致。
• 为 $\mathcal{N}=(3,3)$ CFT 定义了一个修正的椭圆亏格，聚焦于右移动 sector 中的 chiral primary 状态，而左移动生成任意态，以规避因费米子零模导致的标准亏格为零的问题。
• 通过使用 $\mathfrak{su}(2)_k$ WZW 模型分析世界面理论，分别对应两个 $\mathrm{S}^3$ 因子，以及在 $\mathrm{S}^1$ 上的自由玻色子，$\mathbb{Z}_2$ 作用强制要求 $k^+ = k^-$，从而导致 $\kappa = 0$。
• 计算了全息侧椭圆亏格的超重力极限，并证明其与 CFT 结果一致，为对偶提供了强有力支持。
• 利用 theta 函数恒等式与模性质来评估指标，特别利用了 $\vartheta_2$、$\vartheta_3$ 与 $\vartheta_4$ 函数及其在 $\tau \to \tau/n$ 下的变换性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathrm{AdS}_3 \times (\mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^1)/\mathbb{Z}_2$ 上的弦理论是否允许存在一个 $\mathcal{N}=(3,3)$ 全息对偶？
• RQ2 作为 $\mathcal{S}_0/\mathbb{Z}_2$ 的对称积 orbifold，其中 $\mathcal{S}_0$ 是一个由四个费米子与一个玻色子构成的自由 CFT，该 CFT 是否为该背景的正确对偶 CFT？
• RQ3 能否为 $\mathcal{N}=(3,3)$ CFT 定义一个非零的超对称指标，以捕捉 BPS 谱，即使标准椭圆亏格因费米子零模而为零？
• RQ4 全息侧弦理论与边界 CFT 的 BPS 谱是否精确匹配？
• RQ5 在对偶的两侧计算的修正椭圆亏格是否一致，从而为对偶提供非平凡证据？

主要发现

• 在 $\mathrm{AdS}_3 \times (\mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^1)/\mathbb{Z}_2$ 上的弦世界面理论与所提出的对偶 CFT $\mathrm{Sym}^N(\mathcal{S}_0/\mathbb{Z}_2)$ 的 BPS 谱完全匹配。
• 所定义的修正椭圆亏格（在右移动生成 sector 中对 chiral primary 求迹，左移动生成 sector 中对任意态求迹）是非零的，并且在全息侧与边界侧完全一致。
• 全息侧椭圆亏格的超重力极限重现了 CFT 的结果，确认了低能区域的一致性。
• 指标的计算依赖于 theta 函数恒等式，特别是 $\vartheta_2(z|\tau)$ 及其在 $\tau \to \tau/n$ 下的变换性质，用于评估扭变 sector 中的求和。
• 由于费米子零模导致的标准椭圆亏格为零的问题，通过限制在右移动生成 sector 的 chiral primary 上得以规避，从而得到一个物理上有意义且一致的指标。
• 将 $\mathcal{N}=(4,4)$ 降低为 $\mathcal{N}=(3,3)$ 的 orbifold 投影 $\mathbb{Z}_2$（交换两个 $\mathrm{S}^3$ 因子并反射 $\mathrm{S}^1$）保持了对角的 $\mathfrak{su}(2)$ R-对称性。