[论文解读] Mathematical aspect of the combinatorial game "Mahjong"

Yuan Cheng, Chi-Kwong Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2017

Artificial Intelligence in Games参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文运用组合数学理论与基于Python的计算方法，分析了麻将牌型，特别聚焦于“九般高”牌型——据信是唯一能通过任意一枚序数牌（筒子）完成胡牌的13张牌型。研究证实了九般高牌型的独特性，并系统探讨了“八般高”、“七般高”及类似配置，揭示了出人意料的组合结构与概率，对人工智能驱动的游戏策略及纸牌类游戏的数学建模具有启示意义。

ABSTRACT

We illustrate how one can use basic combinatorial theory and computer programming technique (Python) to analyze the combinatorial game: Mahjong. The results confirm some folklore concerning the game, and expose some unexpected results. Related results and possible future research in connection to artificial intelligence are mentioned. Readers interested in the subject may further develop the techniques to deepen the study of the game, or study other combinatorial games.

研究动机与目标

• 通过数学方法验证民间传说：即“九般高”牌型是唯一能通过任意一枚九种序数牌（筒子）完成胡牌的13张牌型。
• 调查并枚举“八般高”及更低“门数”牌型的存在性与数量，即通过添加八种或更少的特定牌型可实现胡牌的牌型。
• 开发一种基于组合枚举与Python的计算框架，系统分析麻将中胡牌牌型的配置。
• 探讨从36张序数牌中随机摸14张或17张牌时，形成胡牌手牌的概率，为游戏设计与人工智能评估提供量化基准。

提出的方法

• 将麻将手牌建模为13张牌在9种牌面（1至9）上的整数分拆，每种牌最多4张，使用多项式系数计算有效组合数量。
• 实现Python程序，枚举所有可能的13张牌型（来自36张序数牌），并逐一测试其是否具备“门”特性——即添加任意一种九种牌面中的一张是否能构成胡牌。
• 运用组合约束识别有效的胡牌结构：一组对子与四组刻子或顺子，其中刻子定义为三张相同牌，顺子定义为同一花色中三张连续的牌。
• 应用概率论，计算从36张序数牌中随机摸14张或17张牌时，形成胡牌手牌的可能性。
• 利用对称性与结构约束减少计算负荷，重点聚焦于能通过添加多种牌型实现“门”条件的手牌。
• 将结果与已知模式进行验证，并将分析扩展至16张牌型，以探索更高“门数”配置。

实验结果

研究问题

• RQ1 “九般高”牌型是否为麻将中唯一能通过添加任意一枚九种序数牌中任一牌完成胡牌的13张牌型？
• RQ2 有多少种不同的“八般高”牌型，使得添加任意一枚特定的八种序数牌中的一张即可实现胡牌？
• RQ3 从36张序数牌中摸14张牌时，形成胡牌手牌的概率是多少？与直觉预期相比如何？
• RQ4 是否存在“七般高”或“六般高”牌型，使得添加任意一枚七种或六种序数牌中的一张即可完成胡牌？
• RQ5 该计算框架能否扩展至16张牌型，以识别所有在指定子集中任一牌加入时均可胡牌的16张牌配置？

主要发现

• 确认“九般高”牌型具有唯一性：仅存在一种仅使用序数牌的13张牌型，能通过添加任意一枚九种序数牌中的一张完成胡牌。
• 共发现恰好11种不同的16张牌型，能通过添加任意一枚九种序数牌中的一张实现胡牌，证实了在更大牌型中存在多个类似“九般高”的配置。
• 从36张序数牌中摸14张牌时，形成胡牌手牌的概率约为0.1116，即11.16%，高于直觉预期的1/9（约11.11%）。
• 对于17张牌型，形成胡牌手牌的概率约为0.1531，即15.31%，表明随着手牌数量增加，胡牌潜力显著提升。
• 研究识别出11种不同的16张牌配置满足“九般高”特性，表明此类牌型在13张牌型之外并非唯一存在。
• 计算框架成功识别出所有能通过任意一枚九种序数牌完成胡牌的13张牌型，通过严格枚举与组合证明，验证了民间传说的正确性。