[论文解读] Mathematical elasticity theory in a Riemannian manifold

Nastasia Grubic, Philippe G. LeFloch+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2013

Elasticity and Material Modeling被引用 1

一句话总结

本文通过最小能量原理，在黎曼流形中表述了非线性和线性化的静态弹性理论，其中形变通过最小化总能量实现，总能量定义为应变能减去载荷势能。证明了在载荷足够小时解的存在性，通过基于度量的应变能和变分法，将经典弹性理论推广到弯曲几何。

ABSTRACT

We study the equations of nonlinear and linearized static elasticity in a Riemannian manifold, which generalize those of classical elasticity in the three-dimensional Euclidean space. Our approach relies on the principle of least energy, stating that the deformation of the elastic body arising in response to given loads minimizes the total energy of the elastic body, defined as the difference between the strain energy and the potential of the loads, over a specific set of admissible deformations. Assuming that the strain energy is a function of the metric tensor field induced by the deformation, we first derive the principle of virtual work and the boundary value problem of nonlinear elasticity from the total energy of the elastic body, then we show that the latter equations possess a solution if the loads are sufficiently small in a specific sense.

研究动机与目标

• 将欧几里得空间中的经典弹性理论推广到任意黎曼流形。
• 基于最小能量原理，建立静态弹性理论的变分框架。
• 从能量最小化推导出虚功原理和边界值问题。
• 在弯曲几何设定下，证明小载荷条件下解的存在性。

提出的方法

• 将弹性体的总能量表述为应变能与载荷势能之差。
• 将应变能定义为由形变诱导的度量张量的函数。
• 通过总能量泛函的一阶变分推导出虚功原理。
• 通过黎曼流形上的变分法，建立非线性弹性理论的边界值问题。
• 对载荷施加紧致性和小量条件，利用变分法中的直接法证明解的存在性。
• 利用隐函数定理或摄动论证，将线性化弹性理论解释为非线性理论的小变形极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将最小能量原理扩展以定义黎曼流形中的弹性理论？
• RQ2 从能量最小化推导出的弯曲几何中非线性弹性理论的控制方程是什么？
• RQ3 在黎曼设定下，由形变诱导的度量张量如何影响应变能？
• RQ4 在黎曼流形中，弹性边界值问题的解在何种条件下存在？
• RQ5 线性化弹性理论如何在这种几何框架下作为小形变极限出现？

主要发现

• 非线性弹性理论的虚功原理和边界值问题在黎曼流形中通过总能量泛函严格推导得出。
• 应变能被表达为诱导度量张量的泛函，从而实现了对欧几里得空间之外几何的推广。
• 当施加的载荷在范数依赖的意义下足够小时，非线性弹性方程的解存在。
• 该框架通过度量张量嵌入几何，自然地将经典弹性理论推广到弯曲空间。
• 在线性化弹性理论中，作为小形变下的首阶近似，其与变分结构保持一致。
• 存在性证明依赖于变分法和紧致性，确保在小载荷假设下的数学严谨性。