[论文解读] Mathematical modelling of fractional order circuits

Miguel Ángel Moreles, Rafael Lainez|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2016

Advanced Control Systems Design参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文通过使用黎曼-刘维尔分数阶导数推广麦克斯韦方程组和本构定律，推导出分数阶 RCL 电路模型，随后将所得系统重新表述为卡波托导数形式，以实现标准初始条件。其主要贡献在于，从电磁学基本原理出发，推导出一个物理解释充分的分数阶积分微分方程，用于描述分数阶 RCL 电路中的电荷，该方程与实验测得的生物阻抗数据一致。

ABSTRACT

In this work a classical derivation of fractional order circuits models is presented. Generalized constitutive equations in terms of fractional Riemann-Liouville derivatives are introduced in the Maxwell's equations. Next the Kirchhoff voltage law is applied in a RCL circuit configuration. A fractional differential equation model is obtained with Caputo derivatives. Thus standard initial conditions apply.

研究动机与目标

• 从经典电磁学出发，提供分数阶电路模型的类经典、基于第一性原理的推导，超越经验拟合。
• 解决分数阶模型（如 Cole 模型）虽能良好拟合数据但缺乏物理解释机制的问题。
• 表明分数阶行为在电路中自然源于涉及分数阶导数的广义本构方程。
• 通过将基于黎曼-刘维尔导数的模型重新表述为卡波托形式，解决其非标准初始条件的问题。
• 推导出一个与已知物理定律一致且允许物理解释充分的初始条件的分数阶 RCL 电路方程。

提出的方法

• 使用黎曼-刘维尔分数阶导数推广电磁学中的本构定律，包括与库里的定律一致的分数阶欧姆定律。
• 通过涉及分数阶时间导数的广义本构方程，定义分数阶电路元件——电阻器、电容器和电感器。
• 对环形电感器应用麦克斯韦方程组和安培环路定律，推导出具有卡波托型导数的分数阶电压-电流关系。
• 在包含分数阶元件的串联 RCL 电路中应用基尔霍夫电压定律，推导出电荷 Q(t) 的分数阶积分微分方程。
• 将基于黎曼-刘维尔导数的模型重新表述为基于卡波托导数的模型，以确保标准初始条件适用。
• 对方程应用阶数为 $1 - \beta$ 的卡波托导数，得到在应用中常见的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过广义本构定律，从经典电磁理论推导出分数阶电路模型？
• RQ2 如何将黎曼-刘维尔意义下的分数阶导数转换为卡波托导数，以实现标准初始条件？
• RQ3 分数阶 RCL 电路中分数阶行为的物理解释基础是什么，尤其与库里的定律和损耗性电介质的关系如何？
• RQ4 当参数趋于极限时，电阻器、电容器和电感器的分数阶控制方程如何退化为经典模型？
• RQ5 当应用广义本构定律时，串联 RCL 电路的最终分数阶微分方程是什么？

主要发现

• 分数阶 RCL 电路由阶数为 $1 + \gamma$ 的卡波托型分数阶积分微分方程控制，其自然初始条件为 $Q(0)$ 和 $D_t Q(0)$。
• 分数阶电阻器由 $i(t) = \frac{1}{R_\alpha} D_t^{1-\alpha} v(t)$ 建模，其在经典极限下退化为欧姆定律。
• 分数阶电容器由 $Q(t) = C_\beta D_t^{1-\beta} v(t)$ 描述，当 $\beta \to 1$ 时恢复经典关系 $Q = Cv$。
• 分数阶电感器遵循 $v(t) = L_\gamma D_t^\gamma i(t)$，当 $\gamma \to 1$ 时退化为经典关系 $v = L \frac{di}{dt}$。
• 最终的卡波托形式模型为 $L_\gamma \hat{D}_t^\gamma D_t Q(t) + R_\alpha \hat{D}_t^\alpha Q(t) + \frac{1}{C_\beta} J_t^{1-\beta} Q(t) = e(t)$，其初始条件具有物理解释意义。
• 对方程应用阶数为 $1 - \beta$ 的卡波托导数，得到 $L_\gamma \hat{D}_t^{1-\beta} D_t \hat{D}_t^\gamma Q(t) + R_\alpha \hat{D}_t^{1-\beta} \hat{D}_t^\alpha Q(t) + \frac{1}{C_\beta} Q(t) = \hat{D}_t^{1-\beta} e(t)$，该形式在应用分数阶动力学中常见。