[论文解读] $\mathscr{B}$-free sets and dynamics

Aurelia Bartnicka, Stanisław Kasjan+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用 9

一句话总结

本文研究了由 $β$-自由整数的特征函数生成的子移位的拓扑与测度论动力系统。研究发现，动力系统由唯一的极小子系统（即 Toeplitz 系统）控制，证明了内在遍历性，并引入了‘紧致集’的概念以刻画不变测度与熵，将先前仅限于互素且倒数和收敛的情形的结果推广至一般情况。

ABSTRACT

Let $B\subset \mathbb{N}$ and let $η\in \{0,1\}^\mathbb{Z}$ be the characteristic function of the set $F_B:=\mathbb{Z}\setminus\bigcup_{b}b\mathbb{Z}$ of B-free numbers. Consider $(S,X_η)$, where $X_η$ is the closure of the orbit of $η$ under the left shift S. When $B=\{p^2 : p\in P\}$, $(S,X_η)$ was studied by Sarnak. This case + some generalizations, including the case (*) of B infinite, coprime with $\sum_{b}1/b

研究动机与目标

• 将 $β$-自由移位的动力学分析从经典情形（即 $β$ 为无穷、两两互素且倒数和收敛）扩展至更一般情形。
• 当 $X_\eta \subsetneq X_\mathscr{B}$ 时，特别是当 $X_\eta$ 不具有遗传性时，解析子移位 $X_\eta$ 的结构。
• 对一般 $β$-自由系统，特别是通过‘紧致性’概念，刻画不变测度与熵。
• 建立 $β$-自由动力系统与 Toeplitz 系统之间的联系，并解决逼近性问题。
• 将结果应用于数论问题，包括 $β$-自由数之间的间隔以及充裕数的分布。

提出的方法

• 将子移位 $(S, X_\eta)$ 定义为 $β$-自由整数的特征函数 $\eta$ 在左移作用下的轨道的闭包。
• 引入 $β$-紧致集的概念，即对所有 $b \in \u03b2$，满足 $\delta(\mathcal{F}_\u03b2) < \delta(\mathcal{F}_{\u03b2 \setminus \{b\}})$，其中 $\delta$ 表示对数密度。
• 证明 $\eta$ 关于自然的 $S$-不变测度 $\nu_\eta$ 是准泛型的，并通过紧致性刻画 $\nu_\eta$ 的支集。
• 证明当 $β$ 为紧致时，系统 $(S, \widetilde{X}_\eta)$ 是内在遍历的，且所有不变测度均集中于一个拟吸引子子系统。
• 利用与 $\u03b2$ 关联的典范 odometer 分析可容许性与极小子系统。
• 应用关于渐近密度与倍数集组合性质的结果，推导出数论后果，包括间隔界与充裕数的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下 $β$-自由子移位 $(S, X_\eta)$ 是逼近的？其极小子系统的结构如何？
• RQ2 在何种条件下 $X_\eta$ 失去遗传性？这对动力系统与不变测度有何影响？
• RQ3 β 的紧致性与 Mirsky 测度 $\nu_\eta$ 的支集之间有何关系？
• RQ4 $(S, \widetilde{X}_\eta)$ 的拓扑熵与不变测度如何与 $β$-自由数的自然密度相关联？
• RQ5 从动力系统结构出发，可推出哪些数论后果，特别是关于充裕数集合的性质？

主要发现

• 子移位 $(S, X_\eta)$ 具有唯一的极小子系统，该子系统为 Toeplitz 系统，且 $X_\eta$ 中每个点均逼近该极小子集。
• $X_\eta$ 是逼近的，当且仅当 $β$ 包含一个无限互素子集。
• 当 $β$ 为紧致时，系统 $(S, \widetilde{X}_\eta)$ 是内在遍历的，且所有不变测度均集中于一个拟吸引子子系统。
• $(S, \widetilde{X}_\eta)$ 与 $(S, X_\mathscr{B})$ 的拓扑熵等于上渐近密度 $\overline{d}(\mathcal{F}_\u03b2)$。
• 当 $β$ 具有轻尾（即 $\overline{d}(\sum_{b>K} b\mathbb{Z}) \to 0$）时，逼近性与遗传性等价。
• 充裕数集合 $\mathbf{A}$ 是某紧致集 $\mathscr{B}_\mathbf{A}$ 的 $β$-自由集，且满足 $\sum_{b \in \mathscr{B}_\mathbf{A}} 1/b < \infty$，$d(\mathbf{P}) = 0$，这意味着存在任意长的连续亏数序列。