[论文解读] Matrix factorizations and singularity categories for stacks

Alexander Polishchuk, Arkady Vaintrob|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用 8

一句话总结

本文将奥尔洛夫关于矩阵因子化与奇点范畴之间的等价性推广至作为线丛截面的势 $W$ 的代数堆栈。它引入了堆栈上的矩阵因子化导出范畴，建立了与 $W$ 的零点的奇点范畴之间的等价性，并为相对紧致支撑构造了相容的推出函子，从而为朗道-金兹堡模型和上同调场论的应用铺平了道路。

ABSTRACT

We study matrix factorizations of a section W of a line bundle on an algebraic stack. We relate the corresponding derived category (the category of D-branes of type B in the Landau-Ginzburg model with potential W) with the singularity category of the zero locus of W generalizing a theorem of Orlov. We use this result to construct push-forward functors for matrix factorizations with relatively proper support.

研究动机与目标

• 将奥尔洛夫关于矩阵因子化与奇点范畴之间的等价性推广至作为线丛截面的势 $W$ 的代数堆栈设定中。
• 将导出范畴 $\operatorname{DMF}(X,W)$ 定义为在局部可缩对象子范畴上取商的同伦范畴，以确保与奇点范畴的相容性。
• 利用奇点范畴等价性，为具有相对紧致支撑的矩阵因子化构造推出函子，从而实现上同调场论的应用。
• 建立两种推出函子概念之间的相容性：一种通过拟矩阵因子化，另一种通过奇点范畴形式化。
• 为后续工作 [27] 中所追求的朗道-金兹堡模型中上同调场论的代数构造奠定代数基础。

提出的方法

• 将 $\operatorname{DMF}(X,W)$ 定义为同伦范畴 $\operatorname{HMF}(X,W)$ 关于局部可缩矩阵因子化三角子范畴的商。
• 为非平凡线丛中的势引入 $\mathbb{Z}$-分次 dg-范畴的矩阵因子化，推广 $\mathbb{Z}/2$-分次情形。
• 证明奥尔洛夫定理的推广：对于光滑代数堆栈 $X$ 及非零因子势 $W$，有 $\operatorname{DMF}(X,W) \simeq D_{\operatorname{Sg}}(X_0)$，其中 $X_0 = Z(W)$。
• 利用该等价性，为具有在零点上纤维为紧致的表示态射 $f: X \to Y$，定义推出函子 $Rf_*: \overline{\operatorname{DMF}}(X,Z;f^*W) \to \overline{\operatorname{DMF}}(Y,f(Z);W)$。
• 通过包含等价函子 $\mathfrak{C}$ 和 $\mathfrak{C}^\infty$ 的交换图，建立导出推出与拟矩阵因子化中朴素推出之间的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将奥尔洛夫关于矩阵因子化与奇点范畴之间的等价性推广至作为非平凡线丛截面的势 $W$ 的代数堆栈？
• RQ2 当 $X$ 非仿射且 $W$ 不是 $\mathcal{O}_X$ 的全局截面时，正确的堆栈上矩阵因子化导出范畴是什么，以捕捉正确的同调不变量？
• RQ3 当态射非有限或非紧致时，尤其在存在无穷秩对象的情形下，如何在导出范畴设定中定义矩阵因子化的推出函子？
• RQ4 是否可以利用奇点范畴等价性，在不同形式化（如拟矩阵因子化与导出范畴）之间建立一致且相容的推出结构？
• RQ5 该框架能否用于构造朗道-金兹堡模型中上同调场论的代数类比，如法恩-贾里斯-阮理论所研究的那样？

主要发现

• 在具有势 $W$ 的光滑代数堆栈 $X$ 上，矩阵因子化导出范畴 $\operatorname{DMF}(X,W)$ 与零点 $X_0 = Z(W)$ 的奇点范畴 $D_{\operatorname{Sg}}(X_0)$ 等价，推广了奥尔洛夫的仿射结果。
• 在技术假设下，等价性 $\operatorname{DMF}(X,W) \simeq D_{\operatorname{Sg}}(X_0)$ 成立，包括 $W$ 和 $f^*W$ 为非零因子，且 $X$ 为光滑 FCDRP-堆栈。
• 通过奇点范畴等价性与零点上态射的紧致性，为具有相对紧致支撑的矩阵因子化构造了推出函子 $Rf_*$。
• 通过包含等价函子 $\mathfrak{C}$ 和 $\mathfrak{C}^\infty$ 的交换图，证明了导出推出与拟矩阵因子化中朴素推出的相容性。
• 该构造为后续工作 [27] 中所设想的朗道-金兹堡模型中上同调场论的代数方法提供了基础。
• 对于平坦态射 $f$，有伴随关系 $\operatorname{Hom}(\bar{E}, Rf_*\bar{F}) \simeq \operatorname{Hom}(f^*\bar{E}, \bar{F})$，推广了经典导出范畴的伴随关系。