[论文解读] Matrix product state approximations for infinite systems

Norbert Schuch, Frank Verstraete|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2017

Quantum many-body systems被引用 8

一句话总结

该论文证明了在无限自旋链上，具有能隙的局部哈密顿量的基态可被矩阵乘积态（MPS）高效近似，其中键维数按 $ D \sim (\ell-1)/\epsilon $ 缩放，$ \ell $ 为自旋数，$ \epsilon $ 为约化密度矩阵在迹范数下的期望精度。该方法通过截断的施密特分解和MPO平均构建平移不变MPS，实现在系统尺寸无关的代价下对所有局部可观测量进行忠实近似，且对能隙的依赖为次多项式。

ABSTRACT

We prove that ground states of gapped local Hamiltonians on an infinite spin chain can be efficiently approximated by matrix product states with a bond dimension which scales as D~(L-1)/epsilon, where any local quantity on L consecutive spins is approximated to accuracy epsilon.

研究动机与目标

• 建立在无限自旋链上，具有能隙的局部哈密顿量的基态可使用与系统尺寸无关的键维数的矩阵乘积态（MPS）实现高效近似。
• 解决长期悬而未决的开放问题：在热力学极限下，是否存在高效的MPS近似，其中全局保真度因正交性而失效。
• 表明对局部约化密度矩阵以精度 $ \epsilon $ 进行近似，仅需 $ D = O((\ell-1)/\epsilon) $，且与系统尺寸无关。
• 开发一种构造性方法，通过截断的施密特分解和平移不变MPO生成此类MPS近似。
• 证明所需键维数在逆精度下呈次指数增长，且渐近独立于谱能隙 $ \Delta $。

提出的方法

• 通过在 $ k+1 $ 个位置切割精确基态 $ |\Phi\rangle $ 构建MPS近似，得到键维数为 $ \chi $ 的态，并截断前 $ \chi $ 个施密特系数，导致误差受 $ \delta $ 限制。
• 利用面积律结果 $ \log \delta \leq \log c_1 - c_2 \Delta^{1/3} (\log \chi)^{4/3} $，将截断误差 $ \delta $ 与谱能隙 $ \Delta $ 及局部希尔伯特空间维数关联。
• 在 $ k $ 个自旋上构造一个矩阵乘积算符（MPO），通过切割后对边缘自旋取迹，得到键维数为 $ D = \chi^2 $ 的MPO，其约化态可近似精确基态在 $ k $ 个自旋上的态。
• 通过取MPO的无限张量积并对其所有 $ k $-自旋平移求和，构建一个无限的、平移不变的MPO，得到键维数为 $ D = k \chi^2 $ 的态。
• 将 $ \ell $-自旋约化密度矩阵的误差界为 $ \| \rho_\ell - \sigma_\ell \|_{\mathrm{tr}} \leq 2\sqrt{2k\delta} + \frac{2(\ell-1)}{k} $，通过优化 $ k $ 实现最小化。
• 优化 $ k = 2^{1/3} (\ell-1)^{2/3} / \delta^{1/3} $，代入面积律边界，推导出最终边界 $ D(\epsilon) \leq \frac{6(\ell-1)}{\epsilon} \exp\left[ \frac{2}{c_2^{3/4} \Delta^{1/4}} \left( \log \frac{(\ell-1)\tilde{c}_1}{\epsilon^3} \right)^{3/4} \right] $，其中 $ \tilde{c}_1 = 108 c_1 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在热力学极限下，矩阵乘积态（MPS）能否高效近似具有能隙的局部哈密顿量的基态？
• RQ2 在无限系统中，对局部可观测量实现 $ \epsilon $-精度近似所需的键维数是否随系统尺寸增长？
• RQ3 能否构造一个平移不变的MPS，使得所有 $ \ell $-自旋约化密度矩阵与精确基态的相应矩阵在 $ \epsilon $ 范围内接近？
• RQ4 所需键维数如何依赖于谱能隙 $ \Delta $、自旋数 $ \ell $ 和期望精度 $ \epsilon $？
• RQ5 对局部可观测量的近似误差是否可独立于系统尺寸进行有界控制，且能否通过有限且可扩展的键维数实现？

主要发现

• 为在迹范数误差 $ \epsilon $ 内近似基态的 $ \ell $-自旋约化密度矩阵，所需键维数的缩放为 $ D(\epsilon) = O\left( \frac{\ell-1}{\epsilon} \right) $，与系统尺寸无关。
• 边界中的指数前因子增长慢于任何 $ \ell/\epsilon $ 的幂次，因此在 $ \epsilon $ 较小时，有效缩放为 $ D \sim (\ell-1)/\epsilon $，接近最优。
• 该方法使用单一有限键维数的MPS，即可对所有局部可观测量（即所有 $ \ell $-自旋约化密度矩阵）实现忠实近似，即使在无限系统极限下亦成立。
• 该构造依赖于施密特系数的面积律边界，以及通过平移求和实现平移不变性的MPO平均。
• 键维数渐近独立于谱能隙 $ \Delta $，因为对 $ \Delta^{-1/4} $ 的指数依赖为次多项式，且在 $ \epsilon $ 较小时可忽略。
• 结果证实MPS在无限系统中提供了基态的高效且可扩展的表示，为实践中使用iDMRG等MPS方法提供了理论依据。