[论文解读] Matroid polytopes, nested sets and Bergman fans

Eva María Feichtner, Bernd Sturmfels|ArXiv.org|Nov 11, 2004

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用 97

一句话总结

本文建立了拟阵的Bergman扇形与嵌套集复形之间的几何联系，表明嵌套集复形为Bergman复形提供了一个幺模三角剖分。关键结果是：当且仅当每个连通平坦在沿任意子平坦收缩后仍保持连通时，这两个复形才完全重合，从而改进了关于热带线性空间三角剖分的早期结果。

ABSTRACT

The tropical variety defined by linear equations with constant coefficients is the Bergman fan of the corresponding matroid. Building on a self-contained introduction to matroid polytopes, we present a geometric construction of the Bergman fan, and we discuss its relationship with the simplicial complex of nested sets in the lattice of flats. The Bergman complex is triangulated by the nested set complex, and the two complexes coincide if and only if every connected flat remains connected after contracting along any subflat. This sharpens a result of Ardila-Klivans who showed that the Bergman complex is triangulated by the order complex of the lattice of flats. The nested sets specify the De Concini-Procesi compactification of the complement of a hyperplane arrangement, while the Bergman fan specifies the tropical compactification. These two compactifications are almost equal, and we highlight the subtle differences.

研究动机与目标

• 阐明拟阵理论中Bergman扇形与嵌套集复形之间的关系。
• 通过拟阵多面体与嵌套集，提供Bergman扇形的几何构造。
• 利用拟阵理论条件，刻画Bergman复形与嵌套集复形重合的条件。
• 通过一个典范态射，将De Concini-Procesi的美妙紧凑化与热带紧凑化联系起来。
• 开发用于计算Bergman复形及其嵌套集三角剖分的算法工具。

提出的方法

• 将Bergman扇形构造为拟阵多面体的法线扇形的子扇形，由满足最小值实现条件的圈定义。
• 将嵌套集复形引入为拟阵中平坦格的三角剖分，利用格中嵌套集的概念。
• 使用单纯形的Minkowski和来构建Bergman复形的局部模型，并将其与最小嵌套集复形关联。
• 应用代数几何理论，证明美妙紧凑化作为投影态射，映射到热带紧凑化。
• 利用超平面排列补集的线性理想的初始理想，通过Bergman扇形刻画热带紧凑化。
• 证明Bergman扇形是嵌套集复形的幺模三角剖分，且两者相等当且仅当所有连通平坦在收缩后仍保持连通。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，拟阵的嵌套集复形与Bergman复形重合？
• RQ2 嵌套集复形如何对Bergman扇形进行三角剖分？幺模性在此三角剖分中起什么作用？
• RQ3 De Concini-Procesi的美妙紧凑化与超平面排列补集的热带紧凑化之间存在何种几何关系？
• RQ4 如何为给定拟阵算法化地计算Bergman扇形及其嵌套集三角剖分？
• RQ5 在何种精确组合条件下，最小嵌套集复形等于Bergman复形？

主要发现

• 拟阵的平坦格的嵌套集复形为Bergman复形提供了一个幺模三角剖分。
• Bergman复形与嵌套集复形重合当且仅当每个连通平坦在沿任意子平坦收缩后仍保持连通。
• 由连通平坦索引的最小嵌套集复形是最小的嵌套集复形，且通常与Bergman复形非常接近。
• De Concini-Procesi的美妙紧凑化对超平面排列补集的投影态射映射到热带紧凑化，该态射由拟阵多面体的Minkowski和分解诱导。
• Bergman扇形被刻画为R^n中满足每个圈上w_i的最小值至少被两次实现的向量集合，且该集合在平移和缩放下保持不变。
• 球面Bergman复形B(M)是一个球面多面体复形，其由嵌套集复形诱导的三角剖分细化了平坦格的序复形三角剖分。