[论文解读] Maximal Subgroups of Compact Lie Groups

Fernando Antoneli, Michael Forger+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 31被引用 15

一句话总结

本文通过将非离散极大子群分类为三类：平凡型、正规型与法诺尔型，实现了对紧致经典李群中非离散极大子群的完整分类。该分类将问题约化为对中心平凡的紧致单李群的有限极大Σ-不变子群及Σ-本原子代数的分类，随后显式计算了经典李代数中本原子代数的法诺尔子群，从而得到了Sp(n)、SU(n)与SO(n)的全部极大子群列表。

ABSTRACT

This report aims at giving a general overview on the classification of the maximal subgroups of compact Lie groups (not necessarily connected). In the first part, it is shown that these fall naturally into three types: (1) those of trivial type, which are simply defined as inverse images of maximal subgroups of the corresponding component group under the canonical projection and whose classification constitutes a problem in finite group theory, (2) those of normal type, whose connected one-component is a normal subgroup, and (3) those of normalizer type, which are the normalizers of their own connected one-component. It is also shown how to reduce the classification of maximal subgroups of the last two types to: (2) the classification of the finite maximal $Σ$-invariant subgroups of center-free connected compact simple Lie groups and (3) the classification of the $Σ$-primitive subalgebras of compact simple Lie algebras, where $Σ$ is a subgroup of the corresponding outer automorphism group. In the second part, we explicitly compute the normalizers of the primitive subalgebras of the compact classical Lie algebras (in the corresponding classical groups), thus arriving at the complete classification of all (non-discrete) maximal subgroups of the compact classical Lie groups.

研究动机与目标

• 对紧致李群（尤其是经典群SO(n)、SU(n)与Sp(n)）的所有非离散极大子群进行分类。
• 弥补文献中的空白：此前对极大子群的研究仅通过本原作用进行，尤其针对非单连通或非连通群。
• 建立一个系统性框架，将分类问题约化为有限群论与Σ-本原子代数的分类。
• 显式计算紧致经典李代数中本原子代数的法诺尔子群，从而获得全部极大子群的完整列表。
• 解决极大子代数并不总对应于极大子群的问题，尤其是在存在离散或非连通分支时。

提出的方法

• 将极大子群分为三类：平凡型（有限极大子群的原像）、正规型（其连通分支为正规子群）与法诺尔型（等于其连通分支的法诺尔子群）。
• 将正规型与法诺尔型子群的分类约化为对中心平凡的紧致单李群的有限极大Σ-不变子群的分类。
• 将分类问题约化为紧致单李代数的Σ-本原子代数，其中Σ是外自同构群的子群。
• 通过表示论（直和、张量积与分块对角包含）显式计算经典李代数（A、B、C）中本原子代数的法诺尔子群。
• 利用伴随表示与群作用确定分量群 $ H/H_0 $，发现在许多情况下其同构于对称群 $ S_l $。
• 利用如下事实：当 $ l \neq 2 $ 时，对称群中的对换可通过行列式为+1的内自同构实现，从而保证 $ ext{Aut}( ho) times ext{Inn}(rak{g}) = S_l $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将紧致李群的极大子群分类系统性地约化为有限群论与子代数分类问题？
• RQ2 在存在离散分支的情况下，极大子群与极大子代数在紧致李群中存在何种精确关系？
• RQ3 哪些经典李群的表示可通过其法诺尔子群生成极大子群？这些子群的分量群是什么？
• RQ4 不可约表示的张量积与直和如何在Sp(n)、SU(n)与SO(n)中生成极大子群？
• RQ5 在何种条件下，经典紧致李群中连通子群的法诺尔子群本身也是极大子群？

主要发现

• 紧致经典李群的极大子群被完全分类为三类：平凡型、正规型与法诺尔型。
• 对于 $ ext{Sp}(n) $，当 $ n = 2pl $ 时，极大子群来源于分块对角包含 $ ext{Sp}(2p)^l \to \text{Sp}(n) $，其分量群为 $ S_l $。
• 当 $ n = (2p)^l $ 且 $ l $ 为奇数时，$ ext{Sp}(n) $ 的极大子群来源于 $ \text{Sp}(2p) $ 的定义表示的 $ l $ 个副本的张量积，其分量群为 $ S_l $。
• 在 $ ext{Sp}(2p) \times \text{Sp}(2q) \to \text{Sp}(2(p+q)) $ 的情形下，该包含是不可约的，当 $ p \ne q $ 时分量群为平凡群，当 $ p = q $ 时为 $ \bbZ_2 $。
• 在 $ \text{Sp}(2p) \times SO(q) \to \text{Sp}(2pq) $ 的情形下，该包含通过张量积实现且不可约，当 $ q $ 为奇数且 $ q \geq 3 $ 时分量群为平凡群，当 $ q $ 为偶数且 $ q \geq 4 $ 时为 $ \bbZ_2 $，但当 $ p=1 $、$ q=4 $ 时例外。
• 极大子群的连通分支的法诺尔子群总是等于整个子群，且当 $ l \geq 3 $ 时，分量群 $ H/H_0 $ 同构于对称群 $ S_l $。