[论文解读] Maximum Matchings in Random Bipartite Graphs and the Space Utilization of Cuckoo Hashtables

Alan Frieze, Páll Melsted|ArXiv.org|Oct 29, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 18被引用 26

一句话总结

本文分析了在每个左端点随机选择右端点 d 个邻居的随机二分图中最大匹配的大小，其应用涉及散列表中的 Cuckoo Hashing。通过 Karp-Sipser 贪心算法与微分方程方法，本文建立了当且仅当右端点数量 m ≈ 1.222n（即 α₁ ≈ 0.818）时，对于 d ≥ 3，几乎必然存在完美匹配（即匹配全部 n 个左端点）的确切阈值。

ABSTRACT

We study the the following question in Random Graphs. We are given two disjoint sets $L,R$ with $|L|=n=αm$ and $|R|=m$. We construct a random graph $G$ by allowing each $x\in L$ to choose $d$ random neighbours in $R$. The question discussed is as to the size $μ(G)$ of the largest matching in $G$. When considered in the context of Cuckoo Hashing, one key question is as to when is $μ(G)=n$ whp? We answer this question exactly when $d$ is at least four. We also establish a precise threshold for when Phase 1 of the Karp-Sipser Greedy matching algorithm suffices to compute a maximum matching whp.

研究动机与目标

• 确定在具有 n 个左端点、m 个右端点且每个左端点在右端点中随机选择 d 个邻居的随机二分图中，何时几乎必然存在大小为 n 的最大匹配。
• 分析 Karp-Sipser 贪心匹配算法在此随机图模型中的性能，特别是第一阶段（度为 1 的顶点消除）在实现最大匹配中的作用。
• 建立精确条件，使得使用 d≥3 个哈希函数的 Cuckoo Hashing 几乎必然将全部 n 个元素存储在 m 个表位置中，通过将问题与随机二分图中的匹配存在性相关联。
• 通过提供 d≥3 时的紧致渐近阈值，改进并拓展先前关于 Cuckoo Hashing 空间利用率的研究结果，解决早期界限中的空白。

提出的方法

• 使用 Karp-Sipser 贪心算法，该算法迭代匹配度为 1 的顶点，然后随机选择边，以分析最大匹配的大小。
• 应用微分方程方法，追踪算法第一阶段中顶点度数的演化过程，将该过程建模为连续近似。
• 定义关键参数：z₁ 是方程 z₁ = (e^{z₁} - 1)/(d-1) 的解，α₁ = z₁ / [d(1 - e^{-z₁})^{d-1}]，该参数决定了几乎必然存在完美匹配的阈值。
• 分析第一阶段后的残余图 Γ₁，表明当 α > α₁ 时，几乎必然存在近乎完美匹配，使用方程 (z/(αd))^{1/(d-1)} + e^{-z} - 1 = 0 的最大非负解 z*。
• 采用概率分析与见证集枚举方法，限制可能阻碍完美匹配存在的罕见配置的概率。
• 使用耦合论证与集中不等式，表明第一阶段后剩余顶点数量几乎必然集中在已知的渐近表达式附近，从而实现对匹配大小的精确估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 d ≥ 3，是否存在确切的阈值 α₁，使得当 n = αm 且 α ≤ α₁ 时，随机二分图几乎必然存在大小为 n 的完美匹配？
• RQ2 在何种条件下，Karp-Sipser 算法的第一阶段足以几乎必然计算出最大匹配？当 α > α₁ 时，该阶段产生的匹配大小如何？
• RQ3 当 α > α₁ 时，第一阶段后残余图 Γ₁ 中最大匹配的渐近大小是多少？其与剩余顶点数量的关系如何？
• RQ4 该随机图模型中完美匹配的阈值与已知的 Cuckoo Hashing 结果相比如何？能否为 d ≥ 3 建立更紧的界限？
• RQ5 当 α > α₁ 时，τ₁（第一阶段匹配的边数）的精确渐近行为是什么？其如何依赖于关键方程的解 z*？

主要发现

• 对于 d ≥ 3，若 α ≤ α₁，其中 α₁ = z₁ / [d(1 - e^{-z₁})^{d-1}]，且 z₁ 满足 z₁ = (e^{z₁} - 1)/(d-1)，则几乎必然有 μ(G) = n，即存在完美匹配。
• 当 d = 3 时，z₁ ≈ 1.251，α₁ ≈ 0.818，因此 m ≈ 1.222n 个位置足以在 Cuckoo Hashing 中几乎必然实现完美匹配。
• 当 α > α₁ 时，第一阶段匹配的边数满足 τ₁ ∼ n(1 - (z*/(αd))^{d/(d-1)})，其中 z* 是方程 (z/(αd))^{1/(d-1)} + e^{-z} - 1 = 0 的最大非负解。
• 第一阶段后，残余图 Γ₁ 几乎必然存在大小为 μ(Γ₁) = min{|L₁|, |R₁|} = min{n - τ₁, (1 - (1 + z*))e^{-z*})m + o(m)} 的匹配。
• 分析确认，对于 d ≥ 3，几乎必然存在完美匹配的阈值严格低于 d = 2 时的阈值，并通过 z* 的解实现了紧致刻画。
• 本文解决了 d ≥ 3 时 Cuckoo Hashing 的空间利用率阈值，表明当 d = 3 时，m ≈ 1.222n 足够实现几乎必然将 n 个元素全部插入。