[论文解读] Maximum occupation time of a transient excited random walk on Z

Reza Rastegar, Alexander Roitershtein|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文研究了在整数格点 ℤ 上的瞬态兴奋随机游走中，最常访问位置的最大占用时间的渐近行为。通过分支过程耦合与极限定理，证明了即使时间增长，该游走也不会在最常访问的站点上花费正比例的时间，这与简单随机游走的典型行为相矛盾。

ABSTRACT

We consider a transient excited random walk on $Z$ and study the asymptotic behavior of the occupation time of a currently most visited site. In particular, our results imply that, in contrast to the random walks in random environment, a transient excited random walk does not spend an asymptotically positive fraction of time at its favorite (most visited up to a date) sites.

研究动机与目标

• 理解在 ℤ 上的瞬态兴奋随机游走中，当前最常访问位置的占用时间的长期动态行为。
• 确定此类游走是否会在其最常访问的位置上花费正的渐近时间比例，这与标准随机游走的直觉相反。
• 在不同饼干环境参数下，建立最大占用时间的极限定理。
• 分析退火漂移参数 δ 在决定占用时间渐近行为中的作用。
• 证明最大占用时间相对于时间呈次线性增长，意味着在最喜爱的位置不会花费正的时间比例。

提出的方法

• 在每个站点设置 M 个饼干，其中每个饼干在前 M 次访问时诱导一个方向性偏置，以此建模 ℤ 上的兴奋随机游走。
• 使用 quenched 和 annealed 测度分析在随机饼干环境下的路径行为，其中各站点的饼干堆为独立同分布。
• 通过与分支过程的耦合来追踪局部占用计数的演化，并推导极限分布。
• 使用 Borel-Cantelli 引理和更新理论分析最大占用时间的 limsup 行为。
• 利用函数 φ(n) = n^{1/δ}(log n)^{-α}（δ > 1，且 α > 1/δ）推导渐近界。
• 使用收敛与发散准则，分析最大占用时间相对于 φ(n) 的 limsup 和 liminf 行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℤ 上的瞬态兴奋随机游走是否会在其最常访问的位置上花费正的渐近时间比例？
• RQ2 最大占用时间相对于时间如何增长，退火漂移 δ 发挥了什么作用？
• RQ3 在不同参数条件下，当前最常访问位置的占用时间的渐近行为如何？
• RQ4 是否可以使用分支过程近似和极限定理来表征最大占用时间？
• RQ5 在何种条件下，最大占用时间的增长速度会超过任何次线性函数？

主要发现

• 在最常访问位置的最大占用时间相对于时间呈次线性增长，意味着游走不会在最喜爱的位置花费正的时间比例。
• 当 δ > 1 时，若 ∑ 1/[φ(m)]^δ = ∞，则最大占用时间除以 φ(n) = n^{1/δ}(log n)^{-α} 的 limsup 几乎必然为无穷大。
• 当 ∑ 1/[φ(m)]^δ < ∞ 时，归一化后最大占用时间的 limsup 几乎必然为有限值。
• 该结果在饼干环境的弱非退化假设下成立，其中 δ 为每个站点的退火总漂移。
• 证明依赖于与分支过程的耦合以及 Borel-Cantelli 论证，以控制占用计数的增长。
• 当 δ > 2 时，游走的渐近速度为正，这影响了分析中使用的时间标度。