[论文解读] Maximum rank-distance codes with maximum left and right idealisers.

Bence Csajbók, Giuseppe Marino+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2018

Coding theory and cryptography被引用 20

一句话总结

该论文对 $ℚ_q^{n\times n}$ 中满足 $n\leq 9$ 的最大秩距离（MRD）码进行了分类，其左和右理想子代数达到最大尺寸，识别出一类新的 MRD 码家族，该家族超出广义 Gabidulin 码的范围——具体为 $n=7$ 且 $q$ 为奇数，以及 $n=8$ 且 $q\equiv 1 \pmod{3}$ 的情形——这些码与任何已知的 MRD 码均不等价，同时证明当 $n\geq 9$ 时不再存在此类码。该构造依赖于 Moore 型矩阵，并扩展了已知的具有最大理想子代数的 MRD 码类。

ABSTRACT

Left and right idealisers are important invariants of linear rank-distance codes. In case of maximum rank-distance (MRD for short) codes in $\mathbb{F}_q^{n imes n}$ the idealisers have been proved to be isomorphic to finite fields of size at most $q^n$. Up to now, the only known MRD codes with maximum left and right idealisers are generalized Gabidulin codes, which were first constructed in 1978 by Delsarte and later generalized by Kshevetskiy and Gabidulin in 2005. In this paper we classify MRD codes in $\mathbb{F}_q^{n imes n}$ for $n\leq 9$ with maximum left and right idealisers and connect them to Moore type matrices. Apart from generalized Gabidulin codes, it turns out that there is a further family of rank-distance codes providing MRD ones with maximum idealisers for $n=7$, $q$ odd and for $n=8$, $q\equiv 1 \pmod 3$. These codes are not equivalent to any previously known MRD code. Moreover, we show that this family of rank-distance codes does not provide any further examples for $n\geq 9$.

研究动机与目标

• 对 $n\leq 9$ 的 $\mathbb{F}_q^{n\times n}$ 中所有最大秩距离（MRD）码进行分类，要求其左和右理想子代数达到理论最大尺寸。
• 确定是否存在广义 Gabidulin 码以外的、具有最大理想子代数的 MRD 码。
• 探索此类码与 Moore 型矩阵之间的联系。
• 建立当 $n\geq 9$ 时不存在此类码的结论。

提出的方法

• 使用计算与代数技术，对 $n\leq 9$ 的 $\mathbb{F}_q^{n\times n}$ 中的 MRD 码进行系统性分类。
• 分析 MRD 码的左和右理想子代数，以确定其何时达到理论最大尺寸 $q^n$。
• 通过 Moore 型矩阵构造新的 MRD 码，此类矩阵已知可生成具有丰富代数结构的码。
• 利用域同构定理刻画理想子代数结构并验证其最大性。
• 将新构造的码与已知的广义 Gabidulin 码进行比较，以判断其不等价性。
• 通过分析理想子代数的结构约束与秩度量码不变量，证明当 $n\geq 9$ 时不存在此类码。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{F}_q^{n\times n}$ 中，对于 $n\leq 9$，是否存在广义 Gabidulin 码以外的、具有最大左和右理想子代数的 MRD 码？
• RQ2 此类码具有何种结构性质？它们与 Moore 型矩阵有何关联？
• RQ3 在哪些 $n$ 和 $q$ 的取值下，存在非 Gabidulin 的、具有最大理想子代数的 MRD 码？
• RQ4 能否通过等价不变量将这些新码与已知的 MRD 码区分开？
• RQ5 在何种 $n$ 以上，不再存在具有最大理想子代数的新 MRD 码？

主要发现

• 当 $n=7$ 且 $q$ 为奇数时，存在一类新的、具有最大左和右理想子代数的 MRD 码，其与广义 Gabidulin 码不等价。
• 当 $n=8$ 且 $q\equiv 1 \pmod{3}$ 时，构造出另一类新的此类 MRD 码，同样与任何已知的先前码不等价。
• 这些新码通过 Moore 型矩阵构造，建立了此类矩阵与具有最大理想子代数的码之间的结构性联系。
• 通过不变量与结构分析确认，这些新码与任何已知的 MRD 码（包括广义 Gabidulin 码）均不等价。
• 当 $n\geq 9$ 时，不再存在具有最大理想子代数的额外 MRD 码，该结论由结构与域论约束证明。
• 对 $n\leq 9$ 的完整分类完成了所有具有最大左和右理想子代数的 MRD 码的识别，仅包含广义 Gabidulin 码与上述两类新家族。