[论文解读] Maximum Wiener Indices of Unicyclic Graphs of Given Matching Number

Stijn Cambie|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2018

Graph theory and applications参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文确定了给定顶点数和匹配数的无圈图的最大Wiener指数，解决了Du和Zhou提出的一个开放问题。研究证明，极值图分为两种类型：一个中心顶点连接多个叶子的路径，或一个带悬挂顶点的环，并根据n的奇偶性以及n与2m的关系，给出了最大Wiener指数的精确闭式表达式。

ABSTRACT

In this article, we determine the maximum Wiener indices of unicyclic graphs with given number of vertices and matching number. We also characterize the extremal graphs. This solves an open problem of Du and Zhou.

研究动机与目标

• 确定具有固定n个顶点和匹配数m的无圈图的最大Wiener指数。
• 刻画达到该最大Wiener指数的极值图的结构。
• 解决Du和Zhou提出的关于无圈图中最大Wiener指数的开放问题。
• 建立依赖于n的奇偶性以及n相对于2m的取值的Wiener指数的严格上界。

提出的方法

• 通过基于匹配数和顶点数对极值结构进行分类，分析无圈图中Wiener指数的行为。
• 引入两类图族：G³_{a,j} 和 G⁴_{a,c,j}，代表候选极值图。
• 利用结构分析证明，只有特定配置（例如G³中b=c=0）可以是极值的。
• 应用距离和计算，推导出每种情况下Wiener指数的精确闭式表达式。
• 通过代入n = 2m + k，比较不同图类型（G³与G⁴）之间的Wiener指数，评估其主导性。
• 采用归纳法和基于n与m奇偶性的分类分析，推导并验证最终公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有n个顶点和匹配数m的所有无圈图中，最大可能的Wiener指数是多少？
• RQ2 对于给定的n和m，哪些图结构能实现该最大Wiener指数？
• RQ3 最大Wiener指数如何依赖于n的奇偶性以及n相对于2m的取值？
• RQ4 极值图是否存在结构约束，例如悬挂顶点数或环的大小？
• RQ5 能否根据参数a、j和c完全刻画极值图？

主要发现

• 当n ≤ 2m + 2时，最大Wiener指数由G³_{n-2m,2m-3}实现，其上界为关于m和n的三次多项式。
• 当n ≥ 2m + 3且n为奇数时，最大Wiener指数由G⁴_{n/2-m+1/2,n/2-m-1/2,2m-4}实现，其公式包含n、m和有理系数。
• 当n ≥ 2m + 4且n为偶数时，最大Wiener指数由G⁴_{n/2-m,n/2-m,2m-4}实现，其公式与前一情况不同，仅常数项有差异。
• 对于固定的n，Wiener指数随m增加而增大，表明更高的匹配数可实现更大的Wiener指数。
• 极值图被唯一刻画：当n ≤ 2m + 2时，为G³_{n-2m,2m-3}；当n较大时，为依赖于奇偶性的特定G⁴图。
• 这些上界是严格的，且等号仅在指定的极值图族中成立，从而确认了其最优性。