[论文解读] McKay correspondence and equivariant sheaves on $P^1$

Alexander Kirillov|ArXiv.org|Mar 14, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文建立了 $\mathbb{P}^1$ 上 $G$-等变层的导出范畴（限制在其偶部）与与有限子群 $G \subset \mathrm{SU}(2)$ 的仿射 Dynkin 图相关联的箭图 $Q_h$ 的表示的导出范畴之间的显式等价关系。关键贡献在于通过等变层以一种自然且与方向无关的方式构造仿射根系，其中 Coxeter 元素被实现为与 $\mathcal{O}(-2)$ 的张量积，且 Dynkin 图的顶点与根系中的 $C$-轨道之间存在双射关系。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite subgroup in SU(2), and $Q$ the corresponding affine Dynkin diagram. In this paper, we review the relation between the categories of $G$-equivariant sheaves on $P^1$ and $Rep Q_h$, where $h$ is an orientation of $Q$, constructing an explicit equivalence of corresponding derived categories.

研究动机与目标

• 通过 $\mathbb{P}^1$ 上的等变层对 Ocneanu 在 $\widehat{Q} = Q \times \mathbb{Z}/h\mathbb{Z}$ 上本质路径的组合构造提供范畴解释。
• 为每个 Dynkin 图 $Q$ 的可接受方向 $h$，构造导出范畴 $D^b(\mathrm{Coh}_G(\mathbb{P}^1)_0) \simeq D^b(\mathrm{Rep}\,Q_h)$ 的显式等价关系。
• 证明等变层范畴的偶部的 Grothendieck 群 $K(\mathcal{C})$ 是一个仿射根格，且不可约对象对应于实根与虚根。
• 证明 Coxeter 元素作用为与 $\mathcal{O}(-2)$ 的张量积，从而几何实现 Auslander–Reiten 自同函子 $\tau$。

提出的方法

• 定义 $\mathcal{C} = \mathrm{Coh}_G(\mathbb{P}^1)_0$，即 $\mathbb{P}^1$ 上 $G$-等变 $\mathcal{O}$-模范畴的偶部，配备 $\mathbb{Z}_2$-分次。
• 为每个 Dynkin 图 $Q$ 的方向 $h$ 构造一个三角范畴等价 $R\Phi_h: D^b(\mathcal{C}) \xrightarrow{\sim} D^b(\mathrm{Rep}\,Q_h)$。
• 在 $D^b(\mathcal{C})$ 上将 Coxeter 元素 $C$ 实现为自同函子 $[\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F} \otimes \mathcal{O}(-2)]$，其与 Auslander–Reiten 平移 $\tau$ 一致。
• 将 $\mathcal{C}$ 中的不可约对象识别为 $\mathcal{O}(n) \otimes X_i$（局部自由，对应实根）与在 $G$-轨道上支撑的扭层（对应虚根）。
• 利用高度函数 $h$ 定义 Coxeter 元素 $C = \left(\prod_{i\text{ odd}} s_i\right)\left(\prod_{i\text{ even}} s_i\right)$，并通过 $C(e_i) = e_{i\pm 2} \mp \frac{2}{n}\delta$ 计算其在根上的作用。
• 验证对 $\alpha = e_i - e_j + a\delta$，有 $C^{n/2}(\alpha) = \alpha - (\alpha, \varepsilon)\delta$，其中 $\varepsilon = \sum_{i\text{ even}} e_i - \sum_{i\text{ odd}} e_i$。

实验结果

研究问题

• RQ1 Ocneanu 在 $\widehat{Q} = Q \times \mathbb{Z}/h\mathbb{Z}$ 上对本质路径的组合构造如何被范畴化？
• RQ2 能否在 $G$-等变层的导出范畴与箭图表示范畴 $\mathrm{Rep}\,Q_h$ 之间构造一个自然且与方向无关的等价关系？
• RQ3 在 $\mathbb{P}^1$ 上等变层的背景下，Coxeter 元素的几何意义是什么？
• RQ4 在 $\mathrm{Coh}_G(\mathbb{P}^1)$ 中的不可约对象如何对应于仿射李代数 $\widehat{\mathfrak{sl}}_2$ 的实根与虚根？
• RQ5 是否存在从仿射 Dynkin 图 $Q$ 的顶点到根系 $\Delta$ 中 $C$-轨道的自然双射？

主要发现

• 对 $\mathrm{Coh}_G(\mathbb{P}^1)$ 的偶部的导出范畴 $D^b(\mathcal{C})$，其与 $D^b(\mathrm{Rep}\,Q_h)$ 的等价关系对任意方向 $h$ 成立，且在反射函子下保持兼容。
• Grothendieck 群 $K(\mathcal{C})$ 同构于仿射根格，且不可约对象的类集合 $\Delta$ 构成一个仿射根系。
• Coxeter 元素 $C$ 作用为与 $\mathcal{O}(-2)$ 的张量积，且对 $\alpha = e_i - e_j + a\delta$，有 $C^{n/2}(\alpha) = \alpha - (\alpha, \varepsilon)\delta$，其中 $\varepsilon = \sum_{i\text{ even}} e_i - \sum_{i\text{ odd}} e_i$。
• $\Delta_0$（对应于正则表示的缺陷为零对象）由满足 $i \equiv j \mod 2$ 的根构成，且 $C$ 在 $\Delta_0$ 上的作用具有有限轨道。
• 正根集 $\Delta_+$ 与 $C$-轨道之间存在双射，且 $\Delta_+ / C$ 自然地与 $Q$ 的顶点双射。
• 对 $G = \mathbb{Z}_n$，$n = 2k$，根系 $\Delta(Q)$ 描述为 $\{e_i - e_j + a\delta \mid i \neq j, a \in \frac{j-i}{n} + \mathbb{Z}\}$，其单根为 $\alpha_i = e_i - e_{i+1} + \frac{1}{n}\delta$。