[论文解读] MDS codes with arbitrary dimensional hull and their applications

Gaojun Luo, Xiwang Cao|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文通过有限域上的广义 Reed-Solomon (GRS) 和扩展 GRS 码，构建了具有任意维数杂交空间的 MDS 码的无限族。利用杂交维数，作者推导出具有灵活参数的新无限族 MDS 量子纠缠辅助误差校正码（EAQECC），显著扩展了可行的量子码构造范围。

ABSTRACT

The hull of linear codes have promising utilization in coding theory and quantum coding theory. In this paper, we study the hull of generalized Reed-Solomon codes and extended generalized Reed-Solomon codes over finite fields with respect to the Euclidean inner product. Several infinite families of MDS codes with arbitrary dimensional hull are presented. As an application, using these MDS codes with arbitrary dimensional hull, we construct several new infinite families of entanglement-assisted quantum error-correcting codes with flexible parameters.

研究动机与目标

• 通过有限域上的广义 Reed-Solomon (GRS) 和扩展 GRS 码，系统构造具有任意维数杂交空间的 MDS 码。
• 通过实现对杂交维数的控制，弥补现有 MDS 码构造中的空白，这对量子码设计至关重要。
• 将具有可调杂交维数的这些 MDS 码应用于生成新的无限族纠缠辅助量子误差校正码（EAQECC）。
• 通过杂交维数，提供一种系统方法以确定 EAQECC 中所需最大纠缠态的数量。
• 通过预共享纠缠，放宽对偶性约束，从而扩展 MDS 码在量子信息理论中的适用性。

提出的方法

• 通过精心选择评估点和权重，从 GRS 和扩展 GRS 码构造 MDS 码，以控制杂交维数。
• 在有限域上使用欧氏内积，将杂交空间定义为码与其对偶码的交集。
• 采用插值多项式与对称函数的代数技术，确保所得码为 MDS 且具有指定的杂交维数。
• 从杂交维数推导 EAQECC 所需的最大纠缠贝尔对数量，使用公式：所需共享贝尔对数等于杂交维数。
• 建立两个构造族（定理 4.7 和 4.8），基于杂交维数 $s$，生成参数为 $[[n,k_1,d_1;c_1]]_q$ 和 $[[n,k_2,d_2;c_2]]_q$ 的 MDS EAQECC。
• 通过生成矩阵与对偶码交集的代数分析，验证 MDS 性质与杂交维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统地从有限域上的 GRS 和扩展 GRS 码构造出具有任意维数杂交空间的 MDS 码？
• RQ2 线性码的杂交维数如何影响纠缠辅助量子误差校正码中所需最大纠缠贝尔对的数量？
• RQ3 GRS 码的参数需满足何种必要与充分条件，才能在保持 MDS 性质的同时实现指定的杂交维数？
• RQ4 所提出的构造能否产生具有灵活参数的无限族 MDS EAQECC？
• RQ5 在所得 EAQECC 中，杂交维数与参数 $k_1, d_1, c_1$ 和 $k_2, d_2, c_2$ 之间存在何种关系？

主要发现

• 本文构造了 MDS 码的无限族，其杂交维数 $s$ 在 GRS 码中可取 $0$ 到 $k-1$，在扩展 GRS 码中可取 $0$ 到 $n-k$。
• 当 $q=16$，$n=17$，$k=17-s$ 时，构造得到参数为 $[[17,k-s,n-k+1;n-k-s]]_{16}$ 的 MDS EAQECC，表明 $s$ 具有高度灵活性。
• 当 $q=81$，$n=9$ 时，构造产生如 $[[9,1,8,6]]_{81}$（当 $k=2$，$s=1$）和 $[[9,0,8,5]]_{81}$（当 $k=2$，$s=2$）的 MDS EAQECC，完整展示了 $s$ 的取值范围。
• 当 $q=27$，$n=13$ 时，构造得到 $[[13,1,12,10]]_{27}$（当 $k=2$，$s=1$）和 $[[13,0,12,9]]_{27}$（当 $k=2$，$s=2$），证实了该方法的可扩展性。
• 杂交维数 $s$ 直接决定了 EAQECC 中所需的最大纠缠贝尔对数量，其中两个构造族中 $c_1 = n-k-s$ 且 $c_2 = k-s$。
• 该方法可构造出 $c_1 > 0$ 与 $c_2 > 0$ 的 MDS EAQECC，也包括 $c_1 = 0$ 或 $c_2 = 0$ 的情况，从而覆盖所有可能的纠缠需求。