[论文解读] Mean-Field Backward Doubly Stochastic Differential Equations and Applications

Tianxiao Wang, Qingfeng Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文引入了非退化后向倒向随机微分方程的平均场形式（MF-BDSDEs），建立了其解的存在性与唯一性。该文为非局部随机偏微分方程提供了概率解释，并推导出MF-BDSDEs最优控制问题的庞特里亚金型最大值原理，通过线性二次控制问题加以说明。

ABSTRACT

Mean-field backward doubly stochastic differential equations (MF-BDSDEs, for short) are introduced and studied. The existence and uniqueness of solutions for MF-BDSDEs is established. One probabilistic interpretation for the solutions to a class of nonlocal stochastic partial differential equations (SPDEs, for short) is given. A Pontryagin's type maximum principle is established for optimal control problem of MF-BDSDEs. Finally, one backward linear quadratic problem of mean-field type is discussed to illustrate the direct application of above maximum principle.

研究动机与目标

• 引入并研究平均场后向倒向随机微分方程（MF-BDSDEs），扩展经典BDSDEs与MF-BSDEs。
• 在适当条件下，建立MF-BDSDEs解的存在性与唯一性。
• 为一类非局部随机偏微分方程（SPDEs）的解提供概率解释。
• 推导由MF-BDSDEs控制的最优控制问题的庞特里亚金型最大值原理。
• 通过均值场类型的后向线性二次控制问题，说明最大值原理的应用。

提出的方法

• 将MF-BDSDEs形式化为涉及系数条件数学期望的方程，其中系数依赖于解及其对偶过程的联合分布。
• 利用不动点论证与适当随机空间中的先验估计，证明解的存在性与唯一性。
• 应用对偶鞅表示与后向随机微积分，推导伴随方程与必要最优性条件。
• 在伴随过程与状态及控制的扰动乘积上应用伊藤公式，推导最大值原理。
• 构造包含伴随过程的哈密顿系统，并利用变分不等式刻画最优控制。
• 通过比较扰动控制与参考控制下的代价泛函差值，验证最优性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，平均场后向倒向随机微分方程存在唯一解？
• RQ2 MF-BDSDEs的解如何与非局部随机偏微分方程的解相联系？
• RQ3 由MF-BDSDEs控制的随机最优控制问题的最优性必要条件是什么？
• RQ4 为MF-BDSDEs推导出的最大值原理如何推广经典随机控制结果？
• RQ5 该理论最大值原理能否应用于求解具体控制问题，如线性二次问题？

主要发现

• 在系数满足标准利普希茨条件与可积性条件下，MF-BDSDEs的解的存在性与唯一性得以建立。
• MF-BDSDEs的解为一类涉及解分布期望的非局部SPDE的解提供了概率表示。
• 为MF-BDSDEs的最优控制问题推导出庞特里亚金型最大值原理，涉及伴随过程与哈密顿系统。
• 最大值原理被应用于一个后向线性二次控制问题，其中最优控制通过哈密顿方程与伴随方程刻画。
• 通过证明在扰动下代价泛函差值非负，验证了最优性条件，确认了候选控制的最优性。
• 该方法将经典BSDEs与MF-BSDEs的结果推广至双重随机与平均场设定，丰富了随机控制理论。