[论文解读] Mean Field Exponential Utility Game: A Probabilistic Approach

Guanxing Fu, Xizhi Su+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2020

Economic theories and models参考文献 36被引用 6

一句话总结

本文研究了一个N人及均值场指数效用博弈，其中参与者管理两种风险资产——一种受个体冲击驱动，一种受共同冲击驱动——同时优化终值财富与相对表现。通过概率方法，本文建立了N人博弈的新型多维倒向前向随机微分方程（FBSDE），其具有二次增长特性，以及均值场极限下的均值场FBSDE，并证明了当N→∞时均衡的收敛性。

ABSTRACT

We study an $N$-player and a mean field exponential utility game. Each player manages two stocks; one is driven by an individual shock and the other is driven by a common shock. Moreover, each player is concerned not only with her own terminal wealth but also with the relative performance of her competitors. We use the probabilistic approach to study these two games. We show the unique equilibrium of the $N$-player game and the mean field game can be characterized by a novel multi-dimensional FBSDE with quadratic growth and a novel mean-field FBSDEs, respectively. The well-posedness result and the convergence result are established.

研究动机与目标

• 分析一个均值场指数效用博弈，其中参与者在随机市场动态下同时优化绝对表现与相对表现。
• 通过一种新型具有二次增长特性的多维FBSDE与无界终端条件，刻画N人博弈的唯一纳什均衡。
• 通过一种新型均值场FBSDE，建立均值场博弈中均衡的存在性与唯一性。
• 证明当N→∞时，N人博弈均衡收敛至均值场博弈均衡。
• 在收益率与噪声无关的条件下推导闭式解，扩展至非恒定或非确定性设定之外。

提出的方法

• 使用指数效用与相对表现激励，构建N人博弈与均值场博弈的模型，其中每位参与者管理由个体与共同布朗运动驱动的两种风险资产。
• 采用局部鞅最优性原理，推导均衡的前向-后向随机微分方程（FBSDE）表征，避免了以往研究中使用的动态规划方法。
• 通过概率技术与BMO估计，建立具有二次增长与可能无界的终端条件的多维FBSDE的适定性。
• 通过分析投资组合策略与财富过程在L²范数下的差异，利用一致有界性与BMO估计，证明N人均衡收敛至均值场均衡。
• 在相对表现因子θ的弱假设下求解均值场FBSDE，并在弱相互作用（小θ）条件下，允许θ可测于最大σ代数。
• 当收益率与噪声无关时，通过显式求解FBSDE并验证与均衡条件的一致性，推导闭式解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非马尔可夫、非恒定设定下，如何刻画具有相对表现激励的N人指数效用博弈的唯一纳什均衡？
• RQ2 当N→∞时，N人博弈均衡与均值场博弈均衡之间存在何种关系？收敛性是否成立？
• RQ3 在相对表现因子θ的一般假设下，能否全局求解博弈所导出的均值场FBSDE？
• RQ4 在何种条件下，可为N人博弈与均值场博弈推导出超越恒定或确定性系数的闭式解？
• RQ5 与动态规划方法相比，概率方法（特别是局部鞅最优性原理）在刻画均衡方面发挥何种作用？

主要发现

• N人博弈的唯一均衡由一种新型多维FBSDE刻画，其具有二次增长与无界终端条件，且在适应过程空间中（具备BMO与L²可积性）证明了其适定性。
• 均值场博弈的均衡由一种新型均值场FBSDE刻画，且在相对表现因子θ的弱假设下，证明了其全局适定性。
• 当N→∞时，N人博弈均衡在L²范数下收敛至均值场博弈均衡，收敛速率取决于θ的有界性与波动率系数。
• 当收益率与基础噪声无关时，为N人博弈与均值场博弈均推导出闭式解，扩展了以往在恒定或确定性设定下的结果。
• 本文建立了投资组合策略与财富过程的收敛结果，表明随着N增大，均衡策略之间的差异在L²范数下趋于零。
• 一项关键技术贡献是：在驱动项的平方根具有BMO可积性的条件下，证明了具有二次增长与无界终端条件的BSDE的存在性与唯一性，该结果用于控制FBSDE的性质。