[论文解读] Measure theory and classifying spaces

Iván Marín|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2017

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 12被引用 4

一句话总结

该论文使用测度论方法构建了离散群与紧李群的完整度量分类空间，具体通过在 $L(\text{prob space}, G)$ 上作用群并形成商空间实现。研究证明，对于阿贝尔离散群 $\Gamma$，空间 $L_2(\Gamma)$ 是一个具有双不变完备度量的 $K(\Gamma,1)$，并提出通过指数化与截面性质实现向 $K(\Gamma,n)$ 空间的迭代构造。

ABSTRACT

We construct classifying spaces for discrete and compact Lie groups, with the property that they are topological groups and complete metric spaces in a natural way. We sketch a program in view of extending these constructions.

研究动机与目标

• 通过概率与测度论发展分类空间的几何与度量结构。
• 解决在非局部紧致情形下构造度量分类空间所面临的范畴论与拓扑学挑战。
• 探究对 $L(\Omega, \cdot)$ 进行迭代构造是否能产生具有自然度量与拓扑性质的 Eilenberg-MacLane 空间 $K(\Gamma,n)$。
• 研究商映射 $L(\Omega^n, \Gamma) \to L(\Omega^n, \Gamma)/L_n(\Gamma)$ 是否存在连续或等距的局部截面，这对同伦分类至关重要。
• 为基于测度论构造的同伦范畴几何化程序奠定基础。

提出的方法

• 将分类空间构造为 $L(\Omega, G)/G$，其中 $L(\Omega, G)$ 是模零测集的 $G$-值可测函数空间，配备 $L^1$ 类型度量。
• 通过逐点乘法赋予 $L(\Omega, G)$ 群结构，并通过平移作用赋予 $G$-作用，从而得到商度量空间。
• 利用紧李群上的黎曼质心构造显式局部截面，作用于商映射 $L(\Omega, G) \to L(\Omega, G)/G$，利用双不变度量。
• 应用 Gleason 定理于完全正则空间的商，以证明紧李群情形下局部截面的存在性。
• 建立同构 $L(\Omega, L(\Omega, \Gamma)) \simeq L(\Omega \times \Omega, \Gamma) \simeq L(\Omega, \Gamma)$，以支持迭代构造。
• 引入局部截面与 Serre 纤维丛性质的概念，分析迭代商是否产生 $K(\Gamma,n)$ 空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $G$ 为紧李群时，映射 $L(\Omega, G) \to L(\Omega, G)/G$ 是否存在连续局部截面？
• RQ2 通过迭代构造 $L(\Omega, G)/G$ 是否能对离散阿贝尔群 $\Gamma$ 产生 $K(\Gamma, n)$ 空间，其条件为何？
• RQ3 迭代空间 $L_n(\Gamma)$ 或 $L(\Omega^n, \Gamma)/L_n(\Gamma)$ 是否满足同伦提升性质或存在局部截面？
• RQ4 映射 $L(\Omega^n, \Gamma) \to L(\Omega^n, \Gamma)/L_n(\Gamma)$ 是否为 Serre 纤维丛，是否支持 $K(\Gamma,n)$ 空间的结构？
• RQ5 能否为空间 $L_n(\Gamma)$ 或 $L(\Omega^n, \Gamma)/L_n(\Gamma)$ 赋予完备的双不变度量，以形成完备度量分类空间？

主要发现

• 对任意离散阿贝尔群 $\Gamma$，空间 $L_2(\Gamma)$ 是具有双不变完备度量的 $K(\Gamma,1)$，通过从 $L(\Omega, \Gamma)^2 \to L_2(\Gamma)$ 的覆叠映射构造证明。
• 映射 $\pi: L(\Omega, \Gamma)^2 \to L_2(\Gamma)$ 定义为 $(\varphi, \psi) \mapsto (x,y) \mapsto \varphi(x)\psi(y)$ 是一个覆叠映射，其核同构于 $\Gamma$，从而确认了 $K(\Gamma,1)$ 结构。
• 对具有双不变黎曼度量的紧李群 $G$，可通过黎曼质心构造 $L(\Omega, G) \to L(\Omega, G)/G$ 的局部截面，定义于分布在小于 $\pi$ 的立体角内的分布上。
• 构造 $L_2(\Gamma)$ 天然地成为一个具有双不变度量的完备度量群，其万有覆叠通过 $L(\Omega, \Gamma)^2$ 的商实现。
• 同构 $L(\Omega, L(\Omega, \Gamma)) \simeq L(\Omega \times \Omega, \Gamma) \simeq L(\Omega, \Gamma)$ 支持高阶分类空间的迭代构造。
• 关于 $L(\Omega^n, \Gamma) \to L(\Omega^n, \Gamma)/L_n(\Gamma)$ 的局部截面存在性是一个关键开放问题，其结果将影响 $B_n(\Gamma)$ 是否为弱 $K(\Gamma,n)$ 空间。