[论文解读] Measures of serial extremal dependence and their estimation

Richard A. Davis, Thomas Mikosch+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2013

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文通过极值图谱和谱分析，引入并估计了重尾时间序列中的序列极值依赖度量。建立了基于周期图的极值图谱谱密度估计的渐近理论，从而能够检测到通过标准自相关无法观测到的周期性极值依赖模式。

ABSTRACT

The goal of this paper is two-fold: 1. We review classical and recent measures of serial extremal dependence in a strictly stationary time series as well as their estimation. 2. We discuss recent concepts of heavy-tailed time series, including regular variation and max-stable processes. Serial extremal dependence is typically characterized by clusters of exceedances of high thresholds in the series. We start by discussing the notion of extremal index of a univariate sequence, i.e. the reciprocal of the expected cluster size, which has attracted major attention in the extremal value literature. Then we continue by introducing the extremogram which is an asymptotic auto-correlation function for sequences of extremal events in a time series. In this context, we discuss regular variation of a time series. This notion has been useful for describing serial extremal dependence and heavy tails in a strictly stationary sequence. We briefly discuss the tail process coined by Basrak and Segers to describe the dependence structure of regularly varying sequences in a probabilistic way. Max-stable processes with Frechet marginals are an important class of reg- ularly varying sequences. Recently, this class has attracted attention for modeling and statistical purposes. We apply the extremogram to max-stable processes. Finally, we discuss estimation of the extremogram both in the time and frequency domains.

研究动机与目标

• 回顾并统一严格平稳时间序列中经典与近期的序列极值依赖度量。
• 形式化地应用正则变异性与尾过程，以建模重尾序列中的序列极值依赖。
• 在时域与频域中，发展并证明极值图谱的谱估计方法。
• 将极值图谱应用于具有弗雷歇边缘分布的广义稳定过程，这是正则变异性序列的一个关键类别。
• 利用平滑周期图，提供极值图谱谱密度的一致且渐近正态的估计。

提出的方法

• 利用超额点过程的收敛性来定义极值聚类，并推导出极值指数作为期望聚类大小的倒数。
• 将极值图谱定义为极值事件的渐近自相关函数，通过归一化极值协方差的极限来定义。
• 应用随机过程的正则变异性概念，以概率框架表征序列极值依赖。
• 采用Basrak与Segers的尾过程来描述正则变异性序列中极值聚类的联合依赖结构。
• 在混合与矩条件之下，推导出极值事件周期图的渐近分布极限。
• 使用Daniell型窗构造平滑周期图估计器，并在块大小与依赖系数满足温和增长条件时，证明其L²一致性与渐近正态性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过极值图谱一致地测量和估计严格平稳时间序列中的序列极值依赖？
• RQ2 极值事件周期图的渐近分布是什么？它如何用于谱推断？
• RQ3 在弱依赖与正则变异性条件下，平滑周期图估计器能否一致估计极值图谱的谱密度？
• RQ4 极值图谱及其谱表示如何检测金融与环境时间序列中极值聚集的周期性模式？
• RQ5 具有弗雷歇边缘分布的广义稳定过程在建模序列极值依赖中起什么作用？其极值图谱如何估计？

主要发现

• 极值图谱被证明是极值事件的有效渐近自相关函数，其谱表示与经典时间序列谱理论类似。
• 极值事件的周期图在分布上收敛于谱密度的缩放指数函数，从而支持渐近推断。
• 在块大小与混合系数满足温和增长条件时，极值图谱谱密度的平滑周期图估计器在L²意义下一致且渐近正态。
• 该方法检测到美国银行股票5分钟对数收益中显著的周期性极值依赖，平滑周期图中的峰值表明极端亏损的重复模式。
• 基于极值图谱的谱分析能够检测到标准自相关或绝对值自相关图无法察觉的极值聚集周期。
• 对于具有弗雷歇边缘分布的广义稳定过程，极值图谱具有闭式表达式，且其谱密度在所提出的估计框架下是一致的。