[论文解读] Measuring the Black Hole Mass Spectrum from Redshifts of aLIGO Binary Merger Events

Y. Bai, V. Barger+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2018

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 38被引用 9

一句话总结

本文提出利用aLIGO双黑洞并合事件的红移分布来约束恒星级黑洞质量函数，特别是最大黑洞质量。通过将观测事件的红移与质量数据结合，并运用Kolmogorov-Smirnov（KS）检验和贝叶斯推断等统计方法，研究发现红移信息提供了互补约束，从而改善了对质量上限的限制——例如，对于较平坦的质量函数（$\alpha = 1.6$），$M_{\text{max}} < 60\,M_\odot$；对于更陡峭的谱（$\alpha = 2.3$），$M_{\text{max}} < 90\,M_\odot$。

ABSTRACT

The binary black hole merger events observed by the Advanced LIGO (aLIGO) and VIRGO collaboration can shed light on the origins of black holes. Many studies based on black hole stellar origins have shown a maximum mass for stellar black holes, which can be measured or constrained from the observed black hole mass distribution. In this paper, we point out that the redshift distribution of the observed merger events can provide complementary information for studying the black hole mass distribution, because the detectability correlates the event redshift to the black hole masses. Based on the five observed events and using the Kolmogorov-Smirnov test, we have found that the maximum of the stellar black hole masses are constrained to be below $76\,M_\odot$ at 90\% confidence level, for a negative power-law index of 2.3 for the heavier black hole. With the improved sensitivity of aLIGO, a few dozen merger events may be obtained, for which we estimate that the maximum mass will be constrained to $10\,M_\odot$ accuracy.

研究动机与目标

• 探究aLIGO双黑洞并合事件的红移分布是否能为黑洞质量函数提供互补约束。
• 检验红移依赖的可探测性与黑洞质量相关联的假设，从而实现超越仅基于质量分析的质量函数约束。
• 通过将红移信息整合进统计模型，改进对最大黑洞质量（$M_{\text{max}}$）的约束。
• 比较Kolmogorov-Smirnov（KS）检验与贝叶斯后验推断在约束质量函数参数方面的有效性。

提出的方法

• 将黑洞质量函数建模为带最大质量上限的幂律形式，$p(m_1, m_2) \propto m^{-\alpha}$（$m \leq M_{\text{max}}$），并对$\alpha$和$M_{\text{max}}$采用平坦先验。
• 利用观测事件的红移分布作为并合率密度$R(z)$的探针，该密度依赖于红移和质量，通过光度距离和事件可探测性体现。
• 应用Kolmogorov-Smirnov（KS）检验，将观测红移的经验累积分布与模型预测进行比较，并对$\alpha$和$M_{\text{max}}$进行优化。
• 采用贝叶斯后验推断，基于事件率、红移依赖可探测性及信噪比阈值，构建似然函数$p(z_i | \vec{\theta}, S_{n,i})$。
• 通过观测事件率归一化似然函数，并对红移进行边缘化，获得$\alpha$和$M_{\text{max}}$的后验分布，其中$\alpha \in [1.0, 3.5]$和$M_{\text{max}} \in [35\,M_\odot, 100\,M_\odot]$采用平坦先验。
• 比较KS检验与贝叶斯推断的结果，评估其一致性及对模型假设的敏感性，特别是$M_{\text{max}}$对单个事件似然的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 aLIGO双黑洞并合事件的红移分布能否为黑洞质量函数提供独立约束？
• RQ2 与仅基于质量的分析相比，纳入红移信息如何提升$M_{\text{max}}$和$\alpha$约束的精度？
• RQ3 KS检验与贝叶斯推断在约束质量函数参数方面，相对表现如何？
• RQ4 在贝叶斯框架中，$M_{\text{max}}$的选择如何影响单个事件的似然？
• RQ5 红移分布在多大程度上有助于区分黑洞形成过程中的质量截断模型与质量间隙模型？

主要发现

• aLIGO事件的红移分布为黑洞质量函数提供了与质量测量互补的约束，尤其在$M_{\text{max}}$方面具有显著优势。
• 对于幂律指数$\alpha = 1.6$，KS检验在95%置信水平下约束$M_{\text{max}} < 60\,M_\odot$。
• 对于更陡峭的谱（$\alpha = 2.3$），约束进一步收紧至$M_{\text{max}} < 90\,M_\odot$。
• 贝叶斯后验推断给出的约束比KS检验更紧，这是由于似然函数中的归一化效应使得大$M_{\text{max}}$值更不被支持。
• 在10个事件（信噪比阈值为6）的贝叶斯后验分析中，95%似然区域的允许参数空间小于KS检验，表明其对模型假设更敏感。
• 未来aLIGO升级预计将带来数十个并合事件，有望实现对$M_{\text{max}}$的$10\,M_\odot$精度约束。