[论文解读] Merlin-Arthur Games and Stoquastic Complexity

Sergey Bravyi, Arvid J. Bessen+1 more|ArXiv.org|Nov 2, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用 40

一句话总结

本文通过将量子 $k$-SAT 限制为在计算基下矩阵元素非负的投影算符，引入了泡利型 $k$-SAT 作为自然的 MA-完全问题。它利用基于随机游走的多项式时间随机算法，证明了泡利型 6-SAT 是 MA-完全的，并提出了复杂性类 StoqMA，表明 $\mathrm{MA} \subseteq \mathrm{StoqMA} \subseteq \mathrm{SBP} \cap \mathrm{QMA}$，同时证明了局部泡利型哈密顿量的平均情况最小本征值问题属于 AM 类。

ABSTRACT

MA is a class of decision problems for which `yes'-instances have a proof that can be efficiently checked by a classical randomized algorithm. We prove that MA has a natural complete problem which we call the stoquastic k-SAT problem. This is a matrix-valued analogue of the satisfiability problem in which clauses are k-qubit projectors with non-negative matrix elements, while a satisfying assignment is a vector that belongs to the space spanned by these projectors. Stoquastic k-SAT is the first non-trivial example of a MA-complete problem. We also study the minimum eigenvalue problem for local stoquastic Hamiltonians that was introduced in quant-ph/0606140, stoquastic LH-MIN. A new complexity class StoqMA is introduced so that stoquastic LH-MIN is StoqMA-complete. Lastly, we consider the average LH-MIN problem for local stoquastic Hamiltonians that depend on a random or `quenched disorder' parameter, stoquastic AV-LH-MIN. We prove that stoquastic AV-LH-MIN is contained in the complexity class \AM, the class of decision problems for which yes-instances have a randomized interactive proof with two-way communication between prover and verifier.

研究动机与目标

• 识别一个自然的、非平凡的 MA-完全问题，以捕捉经典证明下随机多项式时间验证的特性。
• 通过引入新类 StoqMA，研究具有非负矩阵元素的泡利型哈密顿量——即在计算基下矩阵元素非负的局部哈密顿量——的复杂性。
• 建立量子复杂性类（QMA、SBP）与经典交互证明系统（AM）之间的联系，特别是通过泡利型哈密顿量的平均情况最小本征值问题。
• 展示泡利型 $k$-SAT 具备基于与计算基态重叠检查的高效随机验证算法，从而实现 MA-完全性。

提出的方法

• 将泡利型 $k$-SAT 定义为 $k$-自旋投影算符的矩阵值推广，其中在计算基下矩阵元素非负。
• 构建一个多项式时间随机算法，通过在状态空间上进行随机游走，检查给定的计算基态 $|x\rangle$ 是否与满足赋值有较大重叠。
• 通过编码已知的 MA-完全问题（如 6-CNF 公式）为泡利型哈密顿量，并使用微扰夹具构造法，证明泡利型 6-SAT 的完备性与可靠性。
• 将复杂性类 StoqMA 定义为局部泡利型哈密顿量的最小本征值问题的完全问题类，证明 $\mathrm{MA} \subseteq \mathrm{StoqMA} \subseteq \mathrm{SBP} \cap \mathrm{QMA}$。
• 使用微扰夹具模拟量子线路的接受概率，通过泡利型哈密顿量实现，确保矩阵元素非负并控制谱隙。
• 分析最小本征值问题的平均情况版本（泡利型 AV-LH-MIN），通过构建梅林与阿瑟之间的双向交互证明系统，证明其属于 AM 类。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个自然的、非平凡的问题，是复杂性类 MA 的完全问题，而非人为构造或基于电路的形式？
• RQ2 泡利型哈密顿量（即在计算基下矩阵元素非负的哈密顿量）的复杂性能否在经典复杂性类（如 AM 或 StoqMA）中得到刻画？
• RQ3 当限制在泡利型系统时，经典 MA 类与量子复杂性类（如 QMA 和 SBP）之间存在何种关系？
• RQ4 局部泡利型哈密顿量的最小本征值问题能否通过交互证明系统求解，若能，它属于哪个复杂性类？
• RQ5 泡利型最小本征值问题的平均情况版本是否具有常数轮次的随机交互证明，其复杂性如何？

主要发现

• 泡利型 6-SAT 被证明是 MA-完全的，这是首个已知的自然 MA-完全问题示例。
• 基于计算基态上随机游走的多项式时间随机算法，为泡利型 $k$-SAT 提供了完备且可靠的验证过程，确立了其在 MA 中的成员身份。
• 引入了复杂性类 StoqMA，作为局部泡利型哈密顿量最小本征值问题的完全问题类，满足 $\mathrm{MA} \subseteq \mathrm{StoqMA} \subseteq \mathrm{SBP} \cap \mathrm{QMA}$。
• 局部泡利型哈密顿量的平均情况最小本征值问题（泡利型 AV-LH-MIN）属于复杂性类 AM，表明量子哈密顿量问题与经典交互证明系统之间存在联系。
• 论文构建了一个微扰夹具，通过具有非负矩阵元素的泡利型哈密顿量模拟量子线路的接受概率，保持谱性质并支持完备性证明。
• MA-完全性的证明依赖于将 6-CNF 公式编码为泡利型哈密顿量，使得当且仅当最小本征值为零时存在满足赋值，且可靠性由 $1 - n^{-O(1)}$ 有界。