[论文解读] Mertens products in arithmetic progressions over function fields

Hwanyup Jung|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2026

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 0

一句话总结

该论文建立了在 F_q[t] 上对原数理论中的 Mertens 积在同余类中的函数场类比，给出无条件的 GRH 强度渐近和显式常数 C(Q,A0)。

ABSTRACT

We establish a function field analogue of Mertens' formula for Euler products restricted to primes in arithmetic progressions over the polynomial ring F_q[t]. Our results are in direct correspondence with those of Languasco and Zaccagnini for arithmetic progressions in the integers. Over function fields, Weil's Riemann hypothesis for Dirichlet L-functions holds unconditionally, and consequently the analogue of the GRH-strength asymptotic is obtained without any exceptional zero correction term.

研究动机与目标

• 推动并将仅限于原始同余进制的 Mertens 积推广到函数场。
• 获得作为模数 Q 增长时 P(n;Q,A0) 的统一 Mertens 型渐近，n→∞。
• 证明由于韦伊对函数场上的Dirichlet L-函数的Riemann假设，不需要异常零的修正。
• 提供 leading 常数 C(Q,A0) 的显式欧拉积描述，并将其与整数情形联系起来。

提出的方法

• 在模数 Q 的素多项式 P ≤ n，且 P ≡ A0 mod Q 的情况下定义有限欧拉积 P(n;Q,A0)。
• 使用 Dirichlet 字符分解以分离主项与非主项的贡献。
• 应用韦伊对 Dirichlet L-函数的 Riemann 假设，对被非主字符扭曲的素数和的形成进行平方根级别的抵消。
• 推导被扭曲的欧拉积尾部估计并通过部分欧拉积与对数展开控制误差项。
• 将上述结合起来证明主渐近 P(n;Q,A0) = C(Q,A0) (n log q)^{-1/Φ(Q)} (1 + O(q^{-n/2}))。
• 在附录 A 给出 C(Q,A0) 的显式欧拉积描述。

实验结果

研究问题

• RQ1 函数场对 Mertens 的积在给定同余进制中的类比是什么？
• RQ2 当 deg Q 增大但至多达到 n 的正分数时，是否可以为 P(n;Q,A0) 获得 n→∞ 的统一渐近？
• RQ3 韦伊对函数场 Dirichlet L 函数的 Riemann 假设是否足以消除异常零的修正？
• RQ4 常数 C(Q,A0) 如何明确描述并计算？

主要发现

• 受限欧拉积 P(n;Q,A0) 具有 Mertens 型渐近 P(n;Q,A0) = C(Q,A0) (n log q)^{-1/Φ(Q)} (1 + O(q^{-n/2})）。
• 统一性对所有模 Q 的单一特征多项式都成立，deg Q ≤ η n（0 < η < 1），并对所有 Q 的简化剩余类 A0 成立。
• 无需异常零修正；结果为无条件成立，因为韦伊对函数场 Dirichlet L 函数的 Riemann 假设。
• 常数 C(Q,A0) 由仅依赖于 Q 和 A0 的显式欧拉积给出（附录 A）。
• 证明与整数情形中的 Languasco–Zaccagnini 相似，但函数场的优势使得可以无条件得到 GRH 强度的渐近。