[论文解读] MeshingNet: A New Mesh Generation Method based on Deep Learning

Zheyan Zhang, Yongxing Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2020

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一句话总结

MeshingNet 提出了一种深度学习方法，用于预测任意二维几何形状下最优的非结构化有限元网格密度分布，从而避免昂贵的后验误差估计。该方法在基于有限元法（FEM）求解所得的高保真误差估计数据上进行训练，生成高质量的非均匀网格，在准确度上优于均匀网格和ZZ-优化网格，具有作为自适应工作流中初始网格的潜力。

ABSTRACT

We introduce a novel approach to automatic unstructured mesh generation using machine learning to predict an optimal finite element mesh for a previously unseen problem. The framework that we have developed is based around training an artificial neural network (ANN) to guide standard mesh generation software, based upon a prediction of the required local mesh density throughout the domain. We describe the training regime that is proposed, based upon the use of \emph{a posteriori} error estimation, and discuss the topologies of the ANNs that we have considered. We then illustrate performance using two standard test problems, a single elliptic partial differential equation (PDE) and a system of PDEs associated with linear elasticity. We demonstrate the effective generation of high quality meshes for arbitrary polygonal geometries and a range of material parameters, using a variety of user-selected error norms.

研究动机与目标

• 开发一种数据驱动的自动非结构化网格生成方法，以减少对迭代性、计算成本高昂的后验误差估计的依赖。
• 训练深度神经网络，基于几何形状、边界条件和材料参数预测局部网格密度。
• 生成高质量的非均匀网格，实现误差的等分布，且所需网格数量少于均匀网格或传统自适应网格。
• 通过用预计算的训练数据学习到的预测替代误差估计，实现更快的网格生成速度，以应对偏微分方程（PDE）问题。
• 在二维测试问题中，展示该方法在不同几何形状、材料参数和误差范数下的泛化能力。

提出的方法

• 训练一个深度神经网络（MeshingNet），根据包括区域几何形状、边界条件和材料参数在内的输入特征，预测局部网格密度。
• 训练数据由在粗略均匀网格上求解FEM所得的高精度后验误差估计构成，用于生成最优网格密度分布。
• 评估全卷积网络（FCN）、残差网络（ResNet）及其他网络架构在网格密度预测性能上的表现。
• MeshingNet 预测的网格密度分布可引导标准网格生成器（如 Triangle）生成非均匀网格，且在推理阶段无需求解PDE或计算误差估计器。
• 采用可微损失函数，通过梯度下降训练网络，最小化预测网格密度分布与真实网格密度分布之间的差异。
• 通过两个测试问题对框架进行验证：泊松方程和线性弹性力学问题，性能通过势能和误差范数进行衡量。

实验结果

研究问题

• RQ1 深度神经网络能否有效学习从几何形状、材料参数和边界条件输入中预测最优网格密度分布？
• RQ2 MeshingNet 生成的网格在解的准确度方面，与均匀网格和ZZ-优化网格相比表现如何？
• RQ3 MeshingNet 在不同多边形几何形状和材料参数下的泛化能力如何？
• RQ4 与传统自适应方法相比，网络预测的网格密度是否能实现误差的等分布并降低计算成本？
• RQ5 MeshingNet 能否作为传统自适应网格生成工作流中的高效初始网格生成器？

主要发现

• MeshingNet 生成的网格在有限元求解中得到的平均势能为 -7.6813（FCN），显著接近高度精确的参考解（HAS），优于均匀网格（-7.6030）和ZZ-优化网格。
• MeshingNet 的FCN变体达到平均势能 -7.6813，优于ResNet1（-7.6815）和ResNet2（-7.6816），且ResNet模型也缩短了训练时间。
• 在所有测试几何形状中，MeshingNet 生成的网格相对于高度精确解的有限元误差均低于均匀网格和ZZ-优化网格。
• 该方法成功捕捉了几何形状、边界条件和材料参数之间在网格密度预测中的复杂相互作用，表现为在所有测试案例中表现一致。
• MeshingNet 在推理阶段避免了后验误差估计的计算开销，同时生成的网格误差分布接近最优。
• 该方法在不同多边形区域和材料参数间表现出强大的泛化能力，牵引力与网格密度的比值是影响网格非均匀性的关键因素。