[论文解读] Methodology of Numerical Computations with Infinities and Infinitesimals

Yaroslav D. Sergeyev|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2012

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于新型数码系统的计算方法，将无穷大和无穷小视为一致算术框架内的数值量，从而实现对无穷大和无穷小数的精确数值计算。通过普遍应用‘部分小于整体’的原则，该方法解决了无穷集合与发散级数中的悖论，为所有非不可能事件赋予有限或无穷小的概率，从而提供了一种物理上合理、依赖于仪器的分析与概率方法。

ABSTRACT

A recently developed computational methodology for executing numerical calculations with infinities and infinitesimals is described in this paper. The developed approach has a pronounced applied character and is based on the principle `The part is less than the whole' introduced by Ancient Greeks. This principle is used with respect to all numbers (finite, infinite, and infinitesimal) and to all sets and processes (finite and infinite). The point of view on infinities and infinitesimals (and in general, on Mathematics) presented in this paper uses strongly physical ideas emphasizing interrelations holding between a mathematical object under the observation and tools used for this observation. It is shown how a new numeral system allowing one to express different infinite and infinitesimal quantities in a unique framework can be used for theoretical and computational purposes. Numerous examples dealing with infinite sets, divergent series, limits, and probability theory are given.

研究动机与目标

• 开发一种计算方法，使基于一致算术框架的无穷大和无穷小数的数值运算成为可能。
• 通过将‘部分小于整体’的原则普遍应用于有限数、无穷大数和无穷小数及其集合，解决涉及无穷大的经典悖论（例如希尔伯特旅馆悖论、偶数集悖论）。
• 通过建模观测对象与测量仪器之间的关系（类比于物理观测），为数学对象提供一种物理上合理的解释。
• 通过引入一种能显式表达不同无穷大和无穷小量的新型数码系统，实现在分析、概率论和集合论中的精确数值计算。
• 通过基于grossone的新型算术，将未定运算（例如 ∞−∞、∞/∞）替换为有定义的结果。

提出的方法

• 该方法基于一种使用符号 ①（grossone）表示无穷大单位的新型数码系统，使无穷大和无穷小量的直接数值运算成为可能。
• ‘部分小于整体’的原则被普遍应用于有限数、无穷大数和无穷小数及其集合，确保在所有尺度上的一致性。
• 构建了一套新算术，其中加法、减法、乘法和除法等运算被定义于无穷大和无穷小数，避免了不定形式。
• 通过选择不同的数码系统（例如 ①、①²）来模拟测量精度，选择决定了分辨率，从而决定了可观测点或事件的数量。
• 在概率论中，样本空间大小 N(Ω) 由所选数码系统决定（例如 N(Ω) = ①），概率按 P(E) = N(E)/N(Ω) 计算，其结果可为有限值或无穷小值，取决于模型的精度。
• 该方法区分了连续对象上的点（有限 m）与弧（无穷大 m），从而根据所选观测仪器的精度，统一处理离散与连续模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使无穷大和无穷小数的数值计算具有明确定义且一致，避免如 ∞−∞ 或 ∞/∞ 等不定形式？
• RQ2 能否将‘部分小于整体’的原则普遍应用于有限数、无穷大数和无穷小数及其集合，从而解决无穷大的经典悖论？
• RQ3 概率论能否被重新表述，使得所有非不可能事件的概率为正、有限或无穷小，具体取决于测量仪器的精度？
• RQ4 基于 grossone 的新型数码系统在多大程度上能实现在分析、集合论和发散级数中的精确数值计算？
• RQ5 选择不同的数码系统（例如 ① 与 ①²）在多大程度上影响数学模型在连续与离散情境下的分辨率和准确性？

主要发现

• 该方法允许使用基于 grossone（①）的一致算术，直接对无穷大和无穷小数进行数值计算，避免了如 ∞−∞ 等未定义运算。
• 在概率模型中，所有非不可能事件的概率均为正，其值可为有限或无穷小，具体取决于所选数码系统，从而消除了经典问题中对非空集合赋予零概率的缺陷。
• 圆周上可观测点的数量由所选数码系统决定：例如，使用形如 i·2πr/① 的数码时，可观测点数为 ①，事件概率为 m/① > 0（当 m 为有限值时），结果为无穷小概率。
• 该模型区分了点（有限 m）与弧（无穷大 m），从而根据仪器精度，统一处理离散与连续模型。
• 该方法通过指定有限数量的房间（例如 ①）并证明换房操作在新算术中是有效操作，解决了希尔伯特旅馆悖论，避免了‘向无穷大加一’的反直觉结论。
• 该方法提供了一种物理上合理的框架，其中数学结果依赖于测量仪器，类比于物理观测，从而支持对无穷大和无穷小更现实的解释。