[论文解读] Microformal geometry

Theodore Voronov|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2014

Advanced Topics in Algebra被引用 1

一句话总结

本文引入了微形式态射——通过余切方向上的形式幂级数定义的正式典范关系——作为光滑超流形之间映射的推广。它建立了一个形式范畴，其中这些态射的拉回作用产生非线性代数同态，从而实现了对泊松与舒陶恩流形的 $L_{\infty}$-态射的构造，并通过 $\alpha \to 0$ 极限将它们与傅里叶积分算子定义的量子拉回联系起来。

ABSTRACT

We extend the category of (super)manifolds and their smooth mappings by introducing a notion of microformal or thick morphisms. They are formal canonical relations of a special form, constructed with the help of formal power expansions in cotangent directions. The result is a formal category so that its composition law is also specified by a formal power series. A microformal morphism acts on functions by an operation of pullback, which is in general a transformation. More precisely, it is a formal mapping of formal manifolds of even functions (bosonic fields), which has the property that its derivative for every function is a ring homomorphism. This suggests an abstract notion of a nonlinear algebra homomorphism and the corresponding extension of the classical algebraic-functional duality. There is a parallel fermionic version. The obtained formalism provides a general construction of $L_{\infty}$-morphisms for functions on Poisson ($P_{\infty}$-) or Schouten ($S_{\infty}$-) manifolds as pullbacks by Poisson microformal morphisms. We also show that the notion of the adjoint can be generalized to operators as a microformal morphism. By applying this to $L_{\infty}$-algebroids, we show that an $L_{\infty}$-morphism of $L_{\infty}$-algebroids induces an $L_{\infty}$-morphism of the homotopy Lie--Poisson brackets for functions on the dual vector bundles. We apply this construction to higher Koszul brackets on differential forms and to triangular $L_{\infty}$-bialgebroids. We also develop a version (for the bosonic case), whose relation with the classical version is like that of the Schrodinger equation with the Hamilton--Jacobi equation. We show that the pullbacks by microformal morphisms are the limits at $\hbar o 0$ of certain quantum pullbacks, which are defined as special form Fourier integral operators.

研究动机与目标

• 通过在余切方向引入形式幂级数，将超流形之间的光滑映射推广为微形式态射，从而扩展超流形的范畴。
• 使用形式幂级数形式化这些态射的正式复合法则。
• 将函数上的拉回概念推广为非线性代数同态，扩展经典代数-函数对偶性。
• 通过泊松微形式态射，构造 $P_{\infty}$-与 $S_{\infty}$-流形上函数的 $L_{\infty}$-态射。
• 将算子的伴随运算推广至该形式体系，并将其应用于 $L_{\infty}$-代数丛，诱导出同伦李-泊松括号之间的 $L_{\infty}$-态射。

提出的方法

• 将微形式态射定义为通过余切方向上的形式幂级数构造的正式典范关系。
• 使用形式幂级数法则形式化微形式态射的复合。
• 将微形式态射对函数的拉回表示为在导数意义下保持环同态性质的非线性变换。
• 在泊松或舒陶恩流形上，建立微形式态射与函数上 $L_{\infty}$-态射之间的对应关系。
• 构造该形式体系的玻色子版本，其结构类似于薛定谔方程与哈密顿-雅可比方程之间的关系。
• 证明微形式拉回是作为特殊形式的傅里叶积分算子定义的量子拉回在 $\hbar \to 0$ 极限下的经典极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过余切方向上的幂级数，将超流形之间光滑映射推广为形式化的、非线性的函数拉回？
• RQ2 此类广义态射的正式复合法则是什么？它如何在范畴中保持结构？
• RQ3 能否通过微形式态射的拉回构造泊松或舒陶恩流形上函数的 $L_{\infty}$-态射？
• RQ4 在此形式体系中，伴随算子的概念如何推广？其对 $L_{\infty}$-代数丛有何影响？
• RQ5 微形式拉回的量子对应物是什么？它们与经典极限有何关系？

主要发现

• 微形式态射提供了一个形式范畴，其复合由形式幂级数控制，推广了超流形之间光滑映射的概念。
• 微形式态射的拉回在偶函数上定义了非线性代数同态，扩展了经典的代数-函数对偶性。
• 该构造通过泊松微形式态射，为 $P_{\infty}$-与 $S_{\infty}$-流形上函数生成了 $L_{\infty}$-态射。
• 伴随运算被推广为微形式态射作用下的算子，从而在 $L_{\infty}$-代数丛的对偶向量丛上诱导出同伦李-泊松括号之间的 $L_{\infty}$-态射。
• 微形式拉回被证明是作为特殊形式的傅里叶积分算子定义的量子拉回在 $\hbar \to 0$ 极限下的经典极限。
• 发展了该形式体系的玻色子版本，其结构与薛定谔方程和哈密顿-雅可比方程之间的关系具有类比性。