[论文解读] Min-max theory for free boundary minimal hypersurfaces I - regularity theory

Martin Li, Xin Zhou|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 36被引用 40

一句话总结

本文通过静止变面积的极小化构造，证明了在任意具有非空边界的紧致黎曼流形中，存在光滑、嵌入的自由边界极小超曲面。该工作完成了阿姆格伦在自由边界情形下的极小化程序，证明了正则性与嵌入性，并在非负 Ricci 曲率与凸边界条件下，将结果推广至无穷多族此类超曲面。

ABSTRACT

In 1960s, Almgren initiated a program to find minimal hypersurfaces in compact manifolds using min-max method. This program was largely advanced by Pitts and Schoen-Simon in 1980s when the manifold has no boundary. In this paper, we finish this program for general compact manifold with nonempty boundary. As a result, we prove the existence of a smooth embedded minimal hypersurface with free boundary in any compact smooth Euclidean domain. An application of our general existence result combined with the work of Marques and Neves shows that for any compact Riemannian manifolds with nonnegative Ricci curvature and convex boundary, there exist infinitely many embedded minimal hypersurfaces with free boundary which are properly embedded.

研究动机与目标

• 完成在具有非空边界的紧致黎曼流形中，极小超曲面的阿姆格伦极小化程序。
• 在任意具有非空边界的紧致欧几里得区域中，建立光滑、嵌入的自由边界极小超曲面的存在性。
• 在非负 Ricci 曲率与凸边界条件下，将存在性结果推广至无穷多族此类超曲面。
• 为具有自由边界的几乎极小化变面积发展正则性理论，确保可求长性与切锥结构。
• 解决长期悬而未决的公开问题：在一般紧致流形中，无需曲率或凸性假设，构造光滑嵌入的自由边界极小超曲面。

提出的方法

• 将阿姆格伦-皮茨极小化理论适配至自由边界情形，使用相对循环与变面积的同伦类。
• 引入具有自由边界的几乎极小化变面积概念，通过离散与连续形变过程定义。
• 利用法坐标系与管状邻域构造分析边界行为与切锥。
• 应用紧缩过程，在保持边界约束与同伦型的前提下最小化质量。
• 使用类 Fubini 论证与可求长性估计，表明变面积避开某些正余维数的奇异集。
• 建立良好的替换性质，并通过锥比较证明切锥为平坦，从而得出正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意具有非空边界的紧致黎曼流形中，是否存在光滑、嵌入的自由边界极小超曲面？
• RQ2 能否将极小化方法推广至自由边界情形，以生成正则且嵌入的静止变面积？
• RQ3 在何种条件下，可保证在给定流形中存在无穷多族此类超曲面？
• RQ4 如何控制可能非横截地接触环境边界的极小超曲面的边界行为？
• RQ5 具有自由边界的几乎极小化变面积具有何种正则性性质？能否证明其光滑？

主要发现

• 本文证明了在任意具有非空边界的紧致光滑欧几里得区域中，存在光滑、嵌入的自由边界极小超曲面。
• 在任意具有非负 Ricci 曲率与凸边界的紧致黎曼流形中，存在无穷多条正则嵌入的自由边界极小超曲面。
• 作者证明了具有自由边界的几乎极小化变面积是可求长的，且在几乎每一点处具有平坦切锥，从而蕴含正则性。
• 一个关键的技术结果是：在特定几何约束下，对于可求长变面积，其在法坐标球面上的奇异集测度为零。
• 本文在无凸性或曲率假设下，完全解决了约束自由边界问题。
• 该构造得到的极小超曲面不仅静止，而且是嵌入且光滑的，即使边界非凸或流形具有非平凡拓扑。