[论文解读] Minimal representations of conformal groups and generalized Laguerre functions

Jan Möllers|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2010

Advanced Algebra and Geometry被引用 5

一句话总结

本文提出了一类关于非欧几里得Jordan代数的共形群有限覆叠的极小表示的统一构造，将其实现于结构群的极小轨道上的L²空间。关键贡献是一个通用框架，同时涵盖Mp(n, R)的Segal–Shale–Weil表示与O(p+1, q+1)的极小表示，通过共形反演算子FO明确关联到广义拉盖尔函数与梅杰G-变换。

ABSTRACT

We give a unified construction of the minimal representation of a finite cover $G$ of the conformal group of a (non necessarily euclidean) Jordan algebra $V$. This representation is realized on the $L^2$-space of the minimal orbit $\\mathcal{O}$ of the structure group $L$ of $V$. We construct its corresponding $(\\mathfrak{g},\\mathfrak{k})$-module and show that it can be integrated to a unitary irreducible representation of $G$ on $L^2(\\mathcal{O})$. In particular, we obtain a unified approach to the two most prominent minimal representations, namely the Segal--Shale--Weil representation of the metaplectic group $\ extup{Mp}(n,\\mathbb{R})$ and the minimal representation of $\ extup{O}(p+1,q+1)$ which was recently studied by T. Kobayashi, G. Mano and B. {\\O}rsted. In the second part we investigate special functions which give rise to $\\mathfrak{k}$-finite vectors in the representation. Various properties of these special functions such as differential equations, recurrence relations and integral formulas connect to the representation theory involved. Finally, we define the conformal inversion operator $\\mathcal{F}_{\\mathcal{O}}$ by the action of the longest Weyl group element. $\\mathcal{F}_{\\mathcal{O}}$ is a unitary operator on $L^2(\\mathcal{O})$ of order 2. We show that the action of $\\mathcal{F}_{\\mathcal{O}}$ on radial functions is given by a special case of Meijer's $G$-transform.

研究动机与目标

• 为任意Jordan代数（包括非欧几里得情形）的共形群的有限覆叠建立极小表示的统一构造。
• 在结构群的极小轨道的L²空间上实现这些表示，提供几何与分析框架。
• 统一两种著名的极小表示：Mp(n, R)的Segal–Shale–Weil表示与O(p+1, q+1)的极小表示。
• 研究在表示空间中生成k-有限向量的特殊函数（广义拉盖尔函数）。
• 定义并分析共形反演算子FO作为最长Weyl群元素的作用，确定其在径向函数上的作用。

提出的方法

• 通过在极小轨道O上的光滑函数上使用(g, k)-模形式，利用无穷小作用构造极小表示。
• 利用李代数g与Jordan代数V的结构群L的根空间分解来定义极小轨道O。
• 通过共形群的普遍覆叠，将(g, k)-模积分化为L²(O)上的酉不可约表示。
• 将共形反演算子FO定义为最长Weyl群元素的作用，证明其为L²(O)上的阶为2的酉算子。
• 通过梅杰G-变换的一个特例刻画FO在径向函数上的作用，建立关键积分表示。
• 推导出由表示中k-有限向量生成的广义拉盖尔函数的微分方程、递推关系与积分公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为任意Jordan代数上的共形群的极小表示建立统一的构造方法？
• RQ2 极小表示与广义拉盖尔函数作为k-有限向量之间的精确关系是什么？
• RQ3 共形反演算子FO如何作用于L²(O)中的径向函数，其作用由何种积分变换描述？
• RQ4 广义拉盖尔函数在何种意义上编码了极小表示的表示论结构？
• RQ5 Segal–Shale–Weil表示与O(p+1, q+1)的极小表示能否作为该通用框架中的特例被恢复？

主要发现

• 共形群V的有限覆叠G的极小表示被构造为L²(O)上的酉不可约表示，其中O为结构群L的极小轨道。
• 与极小表示相关的(g, k)-模被显式构造，并证明其可积分化为L²(O)上的酉表示。
• 共形反演算子FO是L²(O)上的阶为2的酉算子，其在径向函数上的作用由梅杰G-变换的一个特例给出。
• 广义拉盖尔函数作为极小表示中的k-有限向量出现，并满足一个四阶微分算子Dµ,ν，从而与表示论结构相联系。
• 该框架统一了Mp(n, R)的Segal–Shale–Weil表示与O(p+1, q+1)的极小表示，表明二者均为该通用构造的特例。
• k-卡西米尔算子在每个k-类型上作用为常数，且表示的k-类型分解通过广义拉盖尔函数显式描述。