[论文解读] Minimal surfaces in $R^3$ with dihedral symmetry

Wayne Rossman|ArXiv.org|Apr 26, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文构建了 $ℝ^3$ 中具有二面体对称性 $D_n \times \mathbb{Z}_2$ 的新一族浸入极小曲面，包括具有双曲面端点的零亏格和高亏格例子。通过将共轭曲面方法扩展至非凸区域，作者证明了这些曲面的存在性，并通过中间值定理论证解决了两个周期循环的周期问题，从而对至多 $2n+1$ 个端点的全部零亏格例子进行了分类。

ABSTRACT

We construct new examples of immersed minimal surfaces with catenoid ends and finite total curvature, of both genus zero and higher genus. In the genus zero case, we classify all such surfaces with at most $2n+1$ ends, and with symmetry group the natural $\bfZ_2$ extension of the dihedral group $D_n$. The surfaces are constructed by proving existence of the conjugate surfaces. We extend this method to cases where the conjugate surface of the fundamental piece is noncompact and is not a graph over a convex plane domain.

研究动机与目标

• 构建 $ℝ^3$ 中具有有限总曲率和双曲面端点的新浸入极小曲面例子，利用二面体对称性 $D_n \times \mathbb{Z}_2$。
• 将共轭曲面方法推广至共轭基本块非紧致且非在凸区域上为图的情形。
• 对所有具有至多 $2n+1$ 个端点且对称群为 $D_n \times \mathbb{Z}_2$ 的零亏格极小曲面进行分类。
• 理论性地解决具有两个非平凡周期循环的曲面的周期问题，确保嵌入极小曲面的存在性。

提出的方法

• 将共轭曲面构造应用于具有二面体对称性的基本块，即使其共轭不是凸区域上的图。
• 通过证明共轭曲面可被构造且周期问题可通过中间值定理论证得以解决，从而证明存在性。
• 该方法依赖于 Weierstrass 表示，并通过积分全纯1-形式，利用 Enneper-Weierstrass 参数化生成曲面。
• 利用对称群 $D_n \times \mathbb{Z}_2$ 约束端点配置和 Gauss 映射，以确保周期性和嵌入性。
• 通过分析周期积分关于参数 $\theta$ 或 $w$ 的依赖性，利用连续性和中间值论证，证明周期向量可同时消失。
• 利用拓扑和几何约束（包括 Osserman 不等式以及端点处 Gauss 映射的行为）排除不可能的配置。

实验结果

研究问题

• RQ1 当共轭曲面不是凸区域上的图时，能否构造出具有二面体对称性 $D_n \times \mathbb{Z}_2$ 和有限总曲率的新极小曲面？
• RQ2 具有至多 $2n+1$ 个端点且对称群为 $D_n \times \mathbb{Z}_2$ 的零亏格极小曲面的完整分类是什么？
• RQ3 在对称极小曲面构造中，能否理论性地而非数值性地解决两个非平凡周期循环的周期问题？
• RQ4 是否存在具有 $2n$ 个双曲面端点、$2n$ 个双曲面端点和二面体对称性、且端点法向量与水平面成角 $\theta$ 的高亏格极小曲面族？
• RQ5 共轭曲面方法能否推广至共轭区域非凸且共轭非嵌入的曲面？

主要发现

• 对每个 $n \geq 2$，存在一个一参数族的零亏格极小曲面 ${\cal P}_0(2n,\theta)$，具有 $2n$ 个双曲面端点和对称性 $D_n \times \mathbb{Z}_2$，其中每个端点与水平面成角 $\theta$，且 $0 < \theta < \pi/2$。
• 对每个 $n \geq 2$，存在一个一参数族的高亏格极小曲面 ${\cal P}_{n-1}(2n,\theta)$，具有亏格 $n-1$、$2n$ 个双曲面端点和对称性 $D_n \times \mathbb{Z}_2$，在相同的角条件下成立。
• 对每个 $n \geq 2$，存在一个常数 $c(n)$，使得对所有 $w \geq c(n)$，存在一个零亏格极小曲面 ${\cal J}{\cal M}{\cal V}_0(n+2,w)$，具有 $n$ 个权为1的端点和两个权为 $w$ 的竖直端点，且在 $D_n \times \mathbb{Z}_2$ 对称下不变。
• 对具有至多 $2n+1$ 个端点且对称性为 $D_n \times \mathbb{Z}_2$ 的零亏格极小曲面的分类已完成，表明仅有四种可能类型：${\cal J}{\cal M}_0(n)$、${\cal A}{\cal W}_0(2n,w)$、${\cal J}{\cal M}{\cal V}_0(n+2,w)$ 和 ${\cal P}_0(2n,\theta)$ 或 ${\cal A}{\cal A}_0(2n,\theta)$。
• 通过连续性和中间值定理论证，解决了两个周期循环的周期问题，证明在曲面构造中可同时消除两个周期向量。
• 利用拓扑和对称性约束（包括旋转下不动点的奇数个数）证明了某些端点配置（例如关于 $x_3$-轴旋转180°后不变的三个端点）的不可能性。