[论文解读] Minimizing Cost Register Automata over a Field

Yahia Idriss Benalioua, Nathan Lhote+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2023

semigroups and automata theory被引用 1

一句话总结

该论文通过引入源自加权自动机的新型代数不变量——线性壳（linear hull），解决了在具有线性更新的域上对成本寄存器自动机（CRA）的寄存器最小化问题。利用高效算法计算该不变量，作者证明了寄存器最小化问题在 2-ExpTime 时间内可判定，状态-寄存器最小化问题在 NExpTime 时间内可判定，提供了紧致的复杂度界，并将结果扩展至仿射更新情形。

ABSTRACT

Weighted automata (WA) are an extension of finite automata that define functions from words to values in a given semiring. An alternative deterministic model, called Cost Register Automata (CRA), was introduced by Alur et al. It enriches deterministic finite automata with a finite number of registers, which store values, updated at each transition using the operations of the semiring. It is known that CRA with register updates defined by linear maps have the same expressiveness as WA. Previous works have studied the register minimization problem: given a function computable by a WA and an integer k, is it possible to realize it using a CRA with at most k registers? In this paper, we solve this problem for CRA over a field with linear register updates, using the notion of linear hull, an algebraic invariant of WA introduced recently by Bell and Smertnig. We then generalise the approach to solve a more challenging problem, that consists in minimizing simultaneously the number of states and that of registers. In addition, we also lift our results to the setting of CRA with affine updates. Last, while the linear hull was recently shown to be computable by Bell and Smertnig, no complexity bounds were given. To fill this gap, we provide two new algorithms to compute invariants of WA. This allows us to show that the register (resp. state-register) minimization problem can be solved in 2-ExpTime (resp. in NExpTime).

研究动机与目标

• 解决在具有线性更新的域上对成本寄存器自动机（CRA）的寄存器最小化问题。
• 将解决方案扩展至同时最小化 CRA 中的状态数与寄存器数。
• 高效计算加权自动机的最强 Z-线性与 Z-仿射不变量，以支持寄存器复杂度的估计。
• 通过提供 2-ExpTime 算法，填补计算不变量的复杂度空白。
• 将结果推广至具有仿射寄存器更新的 CRA，并分析其复杂度。

提出的方法

• 利用最近提出的加权自动机（WA）的线性壳不变量，其定义为包含所有可达配置的最强 Z-线性或 Z-仿射集合。
• 应用代数几何工具，特别是 Zariski 拓扑，以刻画 CRA 中可达寄存器值的结构。
• 设计两种新算法，基于矩阵表示和域上的线性代数，以计算加权自动机的最强 Z-线性与 Z-仿射不变量。
• 利用线性壳的维数来确定计算给定有理级数所需的最小寄存器数。
• 通过不变量计算算法将寄存器最小化问题归约为计算线性壳的维数。
• 通过将不变量计算适配至仿射子空间，将框架扩展至仿射更新，并证明在状态-寄存器权衡问题上具有 NExpTime 可判定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过算法计算出在域上通过 CRA 实现某一有理级数所需的最小寄存器数？
• RQ2 计算加权自动机的最强 Z-线性或 Z-仿射不变量的计算复杂度是多少？
• RQ3 能否同时最小化 CRA 中的状态数与寄存器数？该权衡的界限是什么？
• RQ4 能否将结果推广至具有仿射寄存器更新而非仅线性更新的 CRA？
• RQ5 CRA 在域上的寄存器最小化问题的精确复杂度是多少？能否将其优化至 2-ExpTime 以下？

主要发现

• 在域上，具有线性更新的 CRA 的寄存器最小化问题可在 2-ExpTime 时间内判定，其寄存器复杂度由最强 Z-线性不变量的维数决定。
• 在域上，具有线性更新的 CRA 的状态-寄存器最小化问题可在 NExpTime 时间内判定，其状态数与寄存器数的界限由线性壳的维数及不变量长度导出。
• 加权自动机的最强 Z-线性与 Z-仿射不变量可在 2-ExpTime 时间内计算，解决了先前工作中留下的复杂度界空白。
• 对于单字母表或转移矩阵可交换的 WA，复杂度降至 ExpTime，且该界是紧致的。
• 该方法可推广至仿射更新情形，在仿射设置下，状态-寄存器最小化问题同样可在 NExpTime 时间内求解。
• 本文表明，最强不变量并不总能给出状态数最少的 CRA，提示了不变量强度与状态最小化之间存在权衡。