[论文解读] Minimum Bounded Chains and Minimum Homologous Chains in Embedded Simplicial Complexes

Glencora Borradaile, William Maxwell+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文研究了在 R^{d+1} 中嵌入的 d 维单纯复形上的 Z2 同调下的最小有界链和最小同调链问题。针对最小有界链问题，提出了一个 O(√log βd)-近似算法；针对最小同调链问题，提出了一个 O(√log nd+1)-近似算法。同时证明了这两个问题均为 APX-难问题，并在唯一游戏假设下，难以在任意常数因子内近似。主要贡献是提出了一个以最优解大小为参数的固定参数可追踪精确算法。

ABSTRACT

We study two optimization problems on simplicial complexes with homology over ℤ₂, the minimum bounded chain problem: given a d-dimensional complex 𝒦 embedded in ℝ^(d+1) and a null-homologous (d-1)-cycle C in 𝒦, find the minimum d-chain with boundary C, and the minimum homologous chain problem: given a (d+1)-manifold ℳ and a d-chain D in ℳ, find the minimum d-chain homologous to D. We show strong hardness results for both problems even for small values of d; d = 2 for the former problem, and d=1 for the latter problem. We show that both problems are APX-hard, and hard to approximate within any constant factor assuming the unique games conjecture. On the positive side, we show that both problems are fixed-parameter tractable with respect to the size of the optimal solution. Moreover, we provide an O(√{log β_d})-approximation algorithm for the minimum bounded chain problem where β_d is the dth Betti number of 𝒦. Finally, we provide an O(√{log n_{d+1}})-approximation algorithm for the minimum homologous chain problem where n_{d+1} is the number of (d+1)-simplices in ℳ.

研究动机与目标

• 研究在嵌入单纯复形中，寻找被零同调 (d−1)-圈所边界限制的最小 d-链的计算复杂性。
• 分析最小有界链问题与最小同调链问题的近似难度。
• 为这两个问题开发近似算法和固定参数可追踪的精确算法。
• 在标准复杂性假设（包括唯一游戏假设）下建立紧致的不可近似性结果。
• 将已知的关于 2D 复形中最小有界链的结果推广到更高维度和更一般的情形。

提出的方法

• 将最小有界链问题约化为在从复形 K 构造的修改对偶图 H 中的最小 (v⁺_∞, v⁻_∞)-割问题。
• 通过将无穷远点（v∞）拆分为 v⁺_∞ 和 v⁻_∞ 构造 H，基于其是否属于参考 d-链 F（满足 ∂F = C）来替换边。
• 利用 Z2 同调中的环/割对偶性，建立边界为 C 的 d-链与 H 中 (v⁻_∞, v⁺_∞)-割之间的一一对应关系。
• 应用最大流算法在 O(βd m) 时间内计算 H 中的最小割，其中 m 为 d-单体的数量。
• 通过双图变换将问题约化为最小割问题，利用外层壳和零同调圈的结构。
• 利用唯一游戏假设证明了这两个问题的强不可近似界，即使在低维情形下也成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 R³ 中嵌入的 2D 单纯复形中，最小有界链问题是否关于最优解大小是固定参数可追踪的？
• RQ2 在标准复杂性假设下，最小有界链问题是否存在常数因子近似算法？
• RQ3 最小有界链问题的最佳可能近似比是多少，以 d 阶贝蒂数 βd 表示？
• RQ4 在 (d+1)-流形中，最小同调链问题的复杂性与最小有界链问题相比如何？
• RQ5 能否在 (d+1)-流形中对 d-链实现 O(√log nd+1) 的近似？

主要发现

• 最小有界链问题存在一个 O(√log βd)-近似算法，其中 βd 是复形的 d 阶贝蒂数。
• 最小同调链问题存在一个 O(√log nd+1)-近似算法，其中 nd+1 是流形中 d-单体的数量。
• 两个问题均为 APX-难问题，意味着除非 P = NP，否则不存在多项式时间近似方案。
• 在唯一游戏假设下，两个问题都难以在任意常数因子内近似。
• 两个问题的精确算法运行时间为 O(15^k · k · n³_d)，其中 k 为最优解的大小，n_d 为 d-单体的数量。
• 即使输入圈 C 位于 R³ \ K 的无界区域边界上，最小有界链问题仍难以近似，表明其具有极强的不可解性。