[论文解读] Minkowski type problems for convex hypersurfaces in hyperbolic space

Claus Gerhardt|ArXiv.org|Feb 27, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文通过建立曲率函数 $ F|_M = f(\tilde{x}) $ 的解的存在性，解决了双曲空间中严格凸超曲面的闵可夫斯基型问题，其中 $ F $ 是其逆属于类 $ (K^*) $ 的曲率函数。利用曲率流方法和通过高斯映射实现的对偶性，证明了在屏障条件和平滑性假设下，存在类 $ C^{m+2, au} $ 的严格凸超曲面 $ M \subset \mathbb{H}^{n+1} $ 解决该问题，且在德西特空间中的对偶问题也可解。

ABSTRACT

We consider the problem $F=f(ν)$ for strictly convex, closed hypersurfaces in hyperbolic space and solve it for curvature functions $F$ the inverses of which are of class $(K^*)$.

研究动机与目标

• 求解双曲空间 $ \mathbb{H}^{n+1} $ 中严格凸超曲面的闵可夫斯基型问题 $ F|_M = f(\tilde{x}) $，其中 $ F $ 是其逆属于类 $ (K^*) $ 的曲率函数。
• 通过高斯映射和曲率流，将 $ \mathbb{H}^{n+1} $ 中的超曲面与德西特空间 $ N $ 中的类空超曲面之间的对偶性进行推广。
• 在屏障条件和平滑性假设下，建立解的存在性，推广先前关于对称及齐次曲率函数的结果。
• 证明曲率流收敛至平稳解，从而得到原曲率设定问题的解。

提出的方法

• 利用高斯映射在严格凸超曲面 $ M \subset \mathbb{H}^{n+1} $ 与类空超曲面 $ M^* \subset N $ 之间定义对偶性，满足 $ M^{**} = M $。
• 在 $ \mathbb{H}^{n+1} $ 中应用曲率流，其形式为标量抛物型偏微分方程 $ \partial_t u = -v(\varPhi - \tilde{f}) $，初始数据属于 $ C^{4,\alpha}(S^n) $。
• 利用曲率与第二基本形式的先验估计，通过最大值原理证明 $ w = \log h_n^n + \lambda \chi $ 的一致椭圆性与有界性。
• 利用 $ (\tilde{F}, f^{-1}) $ 上的屏障条件控制流并确保收敛，借助 $ \varPhi(F) $ 的严格凹性与一致椭圆性。
• 应用 [10, 第五章5.5节] 中的正则性理论，推导出 $ C^{4,\alpha} $-估计，确保流对所有时间 $ T^* = \infty $ 存在。
• 证明 $ u(t,x) $ 收敛至极限 $ \tilde{u}(x) \in C^{4,\alpha}(S^n) $，且 $ \varPhi - \tilde{f} \to 0 $，从而证明平稳解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ F $ 的逆属于类 $ (K^*) $ 时，双曲空间 $ \mathbb{H}^{n+1} $ 中严格凸超曲面的闵可夫斯基型问题 $ F|_M = f(\tilde{x}) $ 是否存在解？
• RQ2 能否利用 $ \mathbb{H}^{n+1} $ 与 $ N $ 中超曲面之间的对偶性，将曲率设定问题转化为 $ N $ 上的对偶问题？
• RQ3 在何种条件下，曲率流 $ \partial_t u = -v(\varPhi - \tilde{f}) $ 在 $ \mathbb{H}^{n+1} $ 中收敛至平稳解？
• RQ4 在 $ F $ 与 $ f $ 满足光滑性与屏障条件时，曲率问题的解是否保证属于 $ C^{m+2,\alpha} $ 类？

主要发现

• 在 $ \tilde{F} \in (K^*) $、$ f \in C^{m,\alpha}(N) $ 且满足屏障条件时，闵可夫斯基型问题 $ F|_M = f(\tilde{x}) $ 存在严格凸解 $ M \subset \mathbb{H}^{n+1} $，且解属于类 $ C^{m+2,\alpha} $。
• 在类空超曲面 $ M^* \subset N $ 上的对偶问题 $ \tilde{F}|_{M^*} = f^{-1}(\tilde{x}) $ 与原问题等价，且满足 $ M^{**} = M $。
• 曲率流 $ \partial_t u = -v(\varPhi - \tilde{f}) $ 对所有时间 $ t \in [0, \infty) $ 存在，且具有统一的 $ C^{4,\alpha} $-估计。
• 流收敛至极限 $ \tilde{u}(x) \in C^{4,\alpha}(S^n) $，且点态满足 $ \varPhi - \tilde{f} \to 0 $，表明极限解满足平稳曲率问题。
• 解 $ M $ 是一致严格凸的，主曲率远离零，且曲率算子具有一致椭圆性。
• 该结果将先前关于 $ H_k $、$ |A|^2 $ 及齐次一次对称曲率函数的存在性定理，推广至更广泛的类 $ (K^*) $。