[论文解读] Minoration du rang des courbes elliptiques sur les corps de classes de Hilbert

Nicolas Templier|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 58被引用 4

一句话总结

本文建立了椭圆曲线 $E$ 在虚二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ 的希尔伯特类域 $H_D$ 上的 Mordell-Weil 群 $E(H_D)$ 的秩的无条件下界，表明当 $D<0$ 是一个足够大的基本判别式且 $E$ 具有判别式为 $D$ 的希格纳点时，这些点生成的子群的秩至少以 $|D|^{\delta}$ 的速度增长，其中 $\delta>0$ 为某个绝对常数。该结果通过 $L$-函数的非零性与格罗斯-察吉耶尔公式推导得出，支持了伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想。

ABSTRACT

Soit $E/\BmQ$ une courbe elliptique. Soit $D&lt;0$ un discriminant fondamental suffisamment grand. Si $E(\bar{\BmQ})$ contient des points de Heegner de discriminant $D$, ces points engendrent un sous-groupe dont le rang est supérieur à $\pabs{D}^{0.0009}$. Ce résultat est en accord avec la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. --- Let $E/\BmQ$ be an elliptic curve. Let $D&lt;0$ be a sufficiently large fundamental discriminant. If $E(\bar{\BmQ})$ contains Heegner points of discriminant $D$, these points generate a subgroup of rank greater than $\pabs{D}^{0.0009}$. This result is in agreement with the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer.

研究动机与目标

• 建立椭圆曲线在虚二次域的希尔伯特类域上的 Mordell-Weil 群 $E(H_D)$ 的秩的下界。
• 研究希格纳点在 $H_D$ 上的线性无关性及其对 $E(H_D)$ 秩的贡献。
• 通过证明秩随 $|D|^{\delta}$ 增长（$\delta>0$），提供伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想的无条件证据。
• 拓展对希格纳点在类域扩张中分布与算术性质的理解。

提出的方法

• 利用格罗斯-察吉耶尔公式，将 $L$-函数 $L(s, f \times \chi)$ 在 $s=1/2$ 处的导数与希格纳点的 Néron-Tate 高度联系起来。
• 应用 $L$-函数的次凸界，特别是米歇尔的界 $L'(1/2, f \times \chi) \ll |D|^{1/2 - \delta}$，其中 $\delta = 1/1057$，以控制 $L$-导数的大小。
• 使用 $\operatorname{Cl}_D$ 上所有格罗斯特征标 $\chi$ 的 $L'$-导数的一阶矩，公式为 $\frac{1}{h(D)}\sum_{\chi} L'(1/2, f \times \chi) = \alpha L(1, \chi_D) \widehat{h}(\varphi(z_D))$。
• 通过广义矩方法，建立希格纳点 $\varphi(z_D)$ 的 Néron-Tate 高度 $\widehat{h}(\varphi(z_D))$ 的统一下界 $\geq c > 0$，该下界与 $D$ 无关。
• 将 $L'$-导数平均值的下界与次凸界结合，证明存在正比例的特征标 $\chi$ 使得 $L'(1/2, f \times \chi) \neq 0$，从而表明存在大量线性无关的希格纳点。
• 利用此类非零 $L'$-导数的数量为 $\gg |D|^{\delta - \epsilon}$（对任意 $\epsilon > 0$），得出秩的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当椭圆曲线 $E$ 具有判别式为 $D$ 的希格纳点时，$E(H_D)$ 的秩是否随 $|D|$ 增大而增长？
• RQ2 能否在不依赖伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想的前提下，建立由希格纳点生成的 $E(H_D)$ 秩的无条件下界？
• RQ3 对于足够大的基本判别式 $D<0$，$E(H_D)$ 的秩的最小增长速率在 $|D|$ 上如何表示？
• RQ4 $L'(1/2, f \times \chi)$ 的非零性如何与 $H_D$ 上希格纳点的线性无关性相关？
• RQ5 能否利用 $L$-函数的次凸界推导出独立希格纳点数量的有效下界？

主要发现

• 在足够大的 $|D|$ 下，由判别式为 $D$ 的希格纳点生成的 $E(H_D)$ 的子群的秩至少为 $|D|^{\delta}$，其中 $\delta > 0$ 为某个绝对常数。
• 下界 $|D|^{\delta}$ 是无条件的，由 $L'$-导数的非零性与次凸估计推出。
• 希格纳点 $\varphi(z_D)$ 的 Néron-Tate 高度被一个与 $D$ 无关的正数统一下界控制，确保其为非扭点且非退化。
• $L'(1/2, f \times \chi) \neq 0$ 的特征标 $\chi$ 的数量为 $\gg |D|^{\delta - \epsilon}$（对任意 $\epsilon > 0$），意味着至少存在如此多的独立点。
• 该结果与伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想一致，后者预测秩的增长阶为 $|D|^{1/2}$，因此预期 $\delta$ 接近 $1/2$。
• 证明依赖于格罗斯-察吉耶尔公式、$L'$-导数的一阶矩以及次凸界（$\delta = 1/1057$），从而得出一个具体的有效指数。